Русская Википедия:Идеальная точка
Несобственная точка, идеальная точка, омега-точка или бесконечно удалённая точкаШаблон:Sfn — это Шаблон:Не переведено 5 точка вне гиперболической плоскости или пространства. Если дана прямая l и точка P вне l, то проходящие через P прямые, справа и слева параллельные в пределе к прямой l, сходятся к l в идеальных точках.
В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя они Шаблон:Не переведено 5, не принадлежат самому гиперболическому пространству.
Идеальные точки вместе образуют Шаблон:Не переведено 5 или границу гиперболической геометрии. Например, единичная окружность образует абсолют Кэли дисковой модели Пуанкаре и дисковой модели Клейна. В это же время вещественная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскостиШаблон:Sfn.
Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега-треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкойШаблон:Sfn.
Свойства
- Гиперболическое расстояние между идеальными точками и любой другой точкой или другой точкой равно бесконечности.
- Центры орициклов и орисфер являются идеальными точками. Два орицикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр.
Многоугольники с идеальными вершинами
Идеальные треугольники
Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником.
Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств:
- Все идеальные треугольники конгруэнтны.
- Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю.
- Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный треугольник имеет площадь <math> \pi / -K </math>, где K равно (отрицательной) кривизне плоскостиШаблон:Sfn.
Идеальные четырёхугольники
Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником.
В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом:
- Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю.
- Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь <math> 2 \pi / -K </math>, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.
Идеальный квадрат
Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат.
Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрииШаблон:Sfn.
Идеальные n-угольники
Как n-угольники могут быть разделены на Шаблон:Nowrap идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на Шаблон:Nowrap.
Представления в моделях гиперболической геометрии
В дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальными точками являются единичные окружности (для гиперболической плоскости) или единичная сфера (для пространств большей размерности), которые являются недостижимой границей гиперболического пространства.
Одна и та же гиперболическая прямая в дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре будет проходить через те же две идеальные точки.
Дисковая модель Клейна
Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой
- <math>d(p,q) = \frac{1}{2} \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| } ,</math>
Дисковая модель Пуанкаре
Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности, ортогональная границе и соединяющая точки, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой
- <math>d(p,q) = \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| } ,</math>
Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.
Модель полуплоскости Пуанкаре
В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней).
Гиперболическая модель
В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек.
См. также
- Шаблон:Не переведено 5
- Бесконечно удалённая точка для других геометрий.
Примечания
Литература
