Русская Википедия:Идеальный газ
Шаблон:Термодинамика главный Идеа́льный газ — теоретическая модель, широко применяемая для описания свойств и поведения реальных газов при умеренных давлениях и температурах. В этой модели, во-первых, предполагается, что составляющие газ частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть их размеры пренебрежимо малы, поэтому в объёме, занятом идеальным газом, нет взаимных неупругих столкновений частиц. Частицы идеального газа претерпевают столкновения только со стенками сосуда. Второе предположение: между частицами газа нет дальнодействующего взаимодействия, например, электростатического или гравитационного. Дополнительное условие упругих столкновений между молекулами и стенками сосуда в рамках молекулярно-кинетической теории приводит к термодинамике идеального газа Шаблон:Переход.
В различных расширенных моделях идеального газа предполагается, что частицы имеют внутреннюю структуру и протяжённые размеры, что можно представить частицы в виде эллипсоидов или сфер, соединённых упругими связями (например, двухатомные молекулы). Представление частиц газа в виде многоатомных молекул приводит к возникновению дополнительных степеней свободы, что побуждает учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения частиц, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц[1].
Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с достаточной для практических расчётов точностью хорошо описывается моделью идеального газа.
В случае очень больших давлений требуется применение более точных уравнений состояния реальных газов, например, полуэмпирического уравнения Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекуламиШаблон:Переход и их конечные размеры. При очень высоких температурах молекулы реальных газов могут диссоциировать на составляющие их атомы, или атомы могут ионизироваться с отщеплением электронов. Поэтому в случаях высоких давлений и/или температур уравнения состояния идеального газа применимы только с некоторыми допущениями, либо неприменимы совсем.
Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и подчиняются статистике Максвелла — Больцмана)Шаблон:Переход, квазиклассический идеальный газШаблон:Sfn (для которого — в отличие от классического идеального газа — не выполняется закон равномерного распределения энергии по степеням свободыШаблон:SfnШаблон:Sfn) и квантовый идеальный газ (его свойства определяются законами квантовой механики и описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна)Шаблон:Переход.
С термодинамической точки зрения различие между классическим и квазиклассическим идеальными газами состоит в следующем. Теплоёмкость классического идеального газа не зависит от температуры и однозначно задана геометрией молекулы газаШаблон:Sfn, которая тем самым определяет вид калорического уравнения состояния газа. Классические идеальные газы с одинаковой геометрией молекул подчиняются одному и тому же калорическому уравнению состояния. Теплоёмкость квазиклассического идеального газа зависит от температурыШаблон:Sfn[K 1], причём эта зависимость индивидуальна для каждого газа; соответственно каждый квазиклассический идеальный газ описывается своим собственным калорическим уравнением состояния. Очень часто — в том числе и в данной статье, — когда различия между классическим и квазиклассическим приближениями не играют роли, термин «классический идеальный газ» рассматривают как синоним выражения «неквантовый идеальный газ». При макроскопическом подходе идеальными классическими и квазиклассическими газами называют гипотетические (реально не существующие) газы, подчиняющиеся термическому уравнению состояния КлапейронаШаблон:SfnШаблон:Sfn (Клапейрона — МенделееваШаблон:SfnШаблон:Sfn). Иногда дополнительно указывают, что для классического идеального газа справедлив закон ДжоуляШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Термодинамика утверждает, что закон Джоуля выполняется для любого флюида с уравнением состояния вида <math> \frac{p}{T} = f(V) </math> или <math> pV = f(T) </math>, где <math>p</math> — давление, <math>T</math> — абсолютная температура и <math>V</math> — объём (см. Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn). Поэтому, давая дефиницию классическому идеальному газу, упоминать о законе Джоуля необязательно. С другой стороны, если рассматривать данный закон как обобщение экспериментальных данных, то изложение макроскопической теории классического идеального газа требует привлечения только самых элементарных сведений из термодинамики.
Популярность модели «идеальный газ» в учебных курсах термодинамики обусловлена тем обстоятельством, что результаты, получаемые с помощью уравнения Клапейрона, представляют собой не слишком сложные математические выражения и обычно допускают простой аналитический и/или графический анализ поведения входящих в них величин. Квазиклассическое приближение используют для вычисления термодинамических функций газов по их молекулярным даннымШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
История
История возникновения понятия идеальный газ восходит к успехам экспериментальной физики, начало которым было положено в XVII веке. В 1643 г. Эванджелиста Торричелли впервые доказал, что воздух имеет вес (массу), и, совместно с В. Вивиани, провёл опыт по измерению атмосферного давления с помощью запаянной с одного конца стеклянной трубки, заполненной ртутью. Так появился на свет первый ртутный барометр. В 1650 г. немецкий физик Отто фон Герике изобрёл воздушный насос и провёл в 1654 году знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями, наглядно подтвердивший существование атмосферного давления. Эксперименты английского физика Роберта Бойля по уравновешиванию ртутного столба давлением сжатого воздуха привели в 1662 году к выводу газового закона, названного впоследствии законом Бойля — МариоттаШаблон:Sfn, в связи с тем, что французский физик Эдм Мариотт в 1679 г. провёл аналогичное независимое исследование.
В 1802 году французский физик Гей-Люссак опубликовал в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака)[2], однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них этот закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно он был описан французским учёным Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Гей-Люссак также установил, что коэффициент объёмного расширения одинаков для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.
Гей-Люссак (1822)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn и Сади Карно (1824)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn были первыми, кто объединил в едином уравнении законы Бойля — Мариотта и Шарля — Дальтона — Гей-Люссака. Поскольку, однако, Гей-Люссак найденным им уравнением не пользовался, а с полученными Карно результатами знакомились не по его ставшей библиографической редкостью[3] книге «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу»Шаблон:Sfn, а по изложению идей Карно в работе Бенуа Клапейрона «Мемуар о движущей силе огня»[4], то и вывод термического уравнения состояния идеального газа приписали КлапейронуШаблон:SfnШаблон:Sfn, а уравнение стали называть уравнением Клапейрона, хотя сам этот учёный никогда не претендовал на авторство обсуждаемого уравненияШаблон:Sfn. Не вызывает, между тем, сомнения, что именно Клапейрон первый понял плодотворность применения уравнения состояния, существенно упрощавшего все связанные с газами расчёты.
Экспериментальные исследования физических свойств реальных газов в те годы были не вполне точны и проводились в условиях не сильно отличавшихся от нормальных (температура 0 ℃, давление 760 мм рт. ст.). Предполагалось также, что газ, в отличие от пара, представляет собой субстанцию, неизменную в любых физических условиях. Первый удар по этим представлениям нанесло сжижение хлора в 1823 г. В дальнейшем выяснилось, что реальные газы представляют собой перегретые пары, достаточно удалённые от областей конденсации и критического состояния. Любой реальный газ может быть превращён в жидкость путём конденсации, либо путём непрерывных изменений однофазового состояния. Таким образом выяснилось, что реальные газы представляют одно из агрегатных состояний соответствующих простых тел, а точным уравнением состояния газа может быть уравнение состояния простого тела. Несмотря на это, газовые законы сохранились в термодинамике и в её технических приложениях как законы идеальных газов — предельных (практически недостижимых) состояний реальных газовШаблон:Sfn. Уравнение Клапейрона было выведено при некоторых допущениях на основе молекулярно-кинетической теории газов (Августом Крёнигом в 1856 г.[5] и Рудольфом Клаузиусом в 1857 г.)[6]. Клаузиусом было введено и само понятие «идеальный газ»[7] (в отечественной литературе конца XIX — начала XX веков вместо названия «идеальный газ» использовали термин «совершенный газ»Шаблон:Sfn).
Следующий важный шаг в формулировке термического уравнения состояния идеального газа — переход от индивидуальной для каждого газа постоянной к универсальной газовой постоянной — сделал русский инженер Илья АлымовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, работа которого, опубликованная в малоизвестном среди физиков и химиков издании, не обратила на себя внимание. Этот же результат был получен Менделеевым в 1874 годуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Независимо от работ русских учёных Шаблон:Iw (1866)Шаблон:Sfn, Като Гульдберг (1867)Шаблон:Sfn и Шаблон:Iw (1873)Шаблон:Sfn пришли к выводу, что произведение индивидуальной для каждого газа постоянной в уравнении Клапейрона на молекулярный вес газа должно быть постоянной для всех газов величиной.
В 1912 году при выводе постоянной Нернста был впервые применён принцип разделения фазового пространства на равновеликие ячейки. Впоследствии в 1925 году Ш. Бозе опубликовал статью «Закон Планка и гипотеза о световых квантах», в которой развил эту идею применительно к фотонному газу. Эйнштейн сказал о данной статье, что «использованный здесь метод позволяет получить квантовую теорию идеального газа» Шаблон:Sfn. В декабре того же года Энрико Ферми разработал статистику частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, которые позднее назвали фермионами[8][9].
В отечественной литературе, изданной до конца 1940-х годов, термическое уравнение состояния идеального газа называли уравнением КлапейронаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn или уравнением Клапейрона для 1 моляШаблон:Sfn. В фундаментальной отечественной монографии 1948 года, посвящённой различным уравнениям состояния газовШаблон:Sfn, Менделеев — в отличие от Клапейрона — вообще не упоминается. Фамилия Менделеева в названии рассматриваемого нами уравнения появилась после начала «борьбы с низкопоклонством перед Западом» и поиска «русских приоритетов». Тогда-то и стали в научной и учебной литературе использовать такие варианты названия, как уравнение МенделееваШаблон:SfnШаблон:Sfn, уравнение Менделеева — КлапейронаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn и уравнение Клапейрона — МенделееваШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Классический идеальный газ
Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:
- Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда[10]Шаблон:SfnШаблон:Sfn;
- импульс передаётся только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударенияхШаблон:Sfn;
- соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упругиШаблон:Sfn;
- количество молекул в газе велико и фиксированно, что позволяет вычислять средние величины по малому (по сравнению с размерами системы) объёму;
- газ находится в термодинамическом равновесии со стенками сосуда и дополнительно отсутствуют макроскопические потоки вещества. Тут следует уточнить, что градиенты термодинамических величин могут иметь место, как например при включении внешнего поля, к примеру гравитационного.
В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, передаваемому при столкновении частиц с участком стенки единичной площади в единицу времениШаблон:Sfn, внутренняя энергия — сумме энергий частиц газаШаблон:Sfn.
По эквивалентной макроскопической формулировке идеальный газ — такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля — Мариотта и Гей-ЛюссакаШаблон:SfnШаблон:Sfn, то есть:
- <math>pV = \mathrm{const}\cdot T,</math>
где <math>p</math> — давление, <math>V</math> — объём, <math>T</math> — абсолютная температура.
Термическое уравнение состояния и термические коэффициенты идеального газа
Термические свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением КлапейронаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>pV = \frac{m}{M}RT\,, </math>
- где Шаблон:Math — универсальная газовая постоянная (8,3144598 Шаблон:Дробь),
- Шаблон:Math — масса газа,
- Шаблон:Math — его молярная масса, или <math>pV = \nu RT\,, </math>
где <math>\nu</math> — количество газа в молях.
В формулах статистической физики принято использовать постоянную Больцмана Шаблон:Math (1,3806·10−23 Шаблон:Дробь), массу частицы <math>\acute{m}</math> и число частиц Шаблон:Math.
Статистические и термодинамически величины связаны соотношениями:
- <math> m = \acute{m} N,EducationBot (обсуждение) n = \frac{N}{N_A},EducationBot (обсуждение) R = kN_A,EducationBot (обсуждение) kN = n R\,, </math>
где Шаблон:Math — число Авогадро (6,02214·1023 Шаблон:Дробь).
С использованием обозначений статистической физики уравнение Клапейрона принимает вид:
- <math>pV = NkT\,,</math>
или:
- <math>p = ckT\,,</math>
- где Шаблон:Math — концентрация частиц.
Сведения касающиеся термических коэффициентов идеального газа, изложены в статье Уравнение состояния.
Смесь идеальных газов
Смесь идеальных газов тоже идеальный газ. Каждой компоненте газа соответствует своё парциальное давление и общее давление смеси есть сумма парциальных давлений компонент смеси <math>p=p_1+p_2+p_3</math>… Также можно получить общее количество молей в смеси газов как сумму <math>n=n_1+n_2+n_3</math>… Тогда уравнение состояния для смеси идеальных газовШаблон:Sfn
- <math>pV=nRT\,.</math>
Совершенный газ (гидроаэромеханика)
В отличие от термодинамики в гидроаэромеханике газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, называют совершенным. У совершенного газа молярные изохорная <math>C_V</math> и изобарная <math>C_P</math> теплоёмкости постоянны. В то же время идеальным в гидроаэромеханике называют газ, у которого отсутствуют вязкость и теплопроводность. Модель совершенного газа широко применяют при исследовании течения газов[11].
Теплоёмкость
Определим теплоёмкость при постоянном объёме для идеального газа как
- <math>\hat{c}_V=\frac{1}{nR}T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V=\frac{1}{n R}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,, </math>
где Шаблон:Mvar — энтропия. Это безразмерная теплоёмкость при постоянном объёме, которая обычно зависит от температуры из-за межмолекулярных сил. При умеренных температурах это константа: для одноатомного газа Шаблон:Mvar = 3/2, для двухатомного газа и многоатомных газов с линейными молекулами это Шаблон:Mvar = 5/2, а для многоатомного газа с нелинейными молекулами Шаблон:Mvar = 6/2=3. Видно, что макроскопические измерения теплоёмкости могут дать информацию о микроскопической структуре молекул. В отечественной учебной литературе, где понятие безразмерной теплоёмкости не получило распространения, для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме Шаблон:Mvar полагают не зависящей от температуры и, согласно теореме о равнораспределении, равнойШаблон:Sfn: Шаблон:Mvar для всех одноатомных газов, Шаблон:Mvar для всех двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами, Шаблон:Mvar для всех многоатомных газов с нелинейными молекулами. Отличие квазиклассического идеального газа от классического состоит в ином виде зависимости внутренней энергии газа от его температурыШаблон:Sfn. Для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме Шаблон:Mvar не зависит от температуры (она составляет), то есть внутренняя энергия газа всегда пропорциональна его температуре; для квазиклассического идеального газа его теплоёмкость <math> C_V </math> зависит от химического состава газа и температуры, то есть имеет место нелинейная зависимость внутренней энергии газа от температурыШаблон:Sfn.
Теплоёмкость при постоянном давлении 1/R моль идеального газа:
- <math>\hat{c}_P =\frac{1}{nR}T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P= \frac{1}{nR}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = \hat{c}_V+1\,,</math>
где Шаблон:Math — энтальпия газа.
Иногда проводится различие между классическим идеальным газом, где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar могут меняться с температурой и квазиклассическим идеальным газом, для которого это не так.
Для любого классического и квазиклассического идеального газа справедливо соотношение МайераШаблон:Sfn:
- <math>C_P-C_V=R\,,</math>
где <math>C_P</math> — молярная теплоёмкость при постоянном давлении.
Соотношение теплоёмкостей при постоянном объёме и постоянном давлении
- <math>\gamma = \frac{c_P}{c_V} </math>
называется показателем адиабаты. Для воздуха, представляющего собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4. Для показателя адиабаты справедлива теорема РешаШаблон:Sfn: Шаблон:EF
Энтропия и термодинамические потенциалы
Выражая Шаблон:Mvar в терминах Шаблон:Mvar как было показано в предыдущем разделе, дифференцируя уравнение состояния идеального газа и интегрируя можно получить выражение энтропииШаблон:Sfn:
- <math>\Delta S
= \hat{c}_VNk\ln\left(\frac{T}{T_0}\right)+Nk\ln\left(\frac{V}{V_0}\right)\,, </math>
Данное выражение, после ряда преобразований позволяет получить термодинамические потенциалы для идеального газа как функции Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, и Шаблон:Mvar в видеШаблон:Sfn:
<math>U\,</math> <math>=\hat{c}_V NkT\,</math> <math>A\,</math> <math>=U-TS\,</math> <math>=\mu N-NkT\,</math> <math>H\,</math> <math>=U+PV\,</math> <math>=\hat{c}_P NkT\,</math> <math>G\,</math> <math>=U+PV-TS\,</math> <math>=\mu N\,,</math>
где, как и раньше,
- <math>\hat{c}_P=\hat{c}_V+1\,.</math>
Применение теории идеального газа
Физический смысл температуры газа
В рамках молекулярно-кинетической теории давление молекул газа на стенку сосуда <math>p =\frac{F}{S}</math> равно отношению силы <math>F</math>, действующей на стенку со стороны молекул, к площади стенки <math>S</math>. Силу можно вычислить как отношение суммарного импульса <math>K</math>, переданного стенке при столкновениях молекул за время <math>\Delta t</math>, к длительности этого интервала:
<math>p =\frac{K}{S\Delta t}. \qquad\qquad</math>(1)
При упругом соударении молекула массы <math>m</math> передаёт стенке импульс
<math>k_m=2mv\cos\vartheta,\qquad\qquad</math>(2)
где <math>\vartheta</math> — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой и <math>v</math> — скорость молекулыШаблон:Sfn. Число соударений со стенкой равно <math>N_{\rm st}=nvS\cos\vartheta\Delta t. </math> Усреднение выражения <math>K=k_mN_{\rm st}</math> по всем возможным углам и скоростям, даёт:
<math>K= \frac{2}{3}n\varepsilon_{\rm kin}S\Delta t,\qquad\qquad</math>(3)
где <math>\ \varepsilon_{\rm kin}</math> — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив (3) в (1), получаем, что давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле <math>p = \frac{2}{3}n\varepsilon_{\rm kin}</math>Шаблон:Sfn, Подставив <math>p</math> в уравнение Клапейрона в форме <math>p = nkT</math>, получаем выражение <math>\ \varepsilon_{\rm kin}= \frac{3}{2}kT</math>, откуда следует, что температура газа прямо пропорциональна средней энергии поступательного движения молекулШаблон:Sfn.
Распределение Больцмана
Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям можно получить следующим образом. Используя выражение для потенциальной энергии газа в гравитационном поле и уравнение Клапейрона, выводят барометрическую формулуШаблон:Sfn и с её помощью находят распределение молекул газа по энергиям в гравитационном поле. Больцман показал, что полученное таким образом распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движенияШаблон:Sfn. Это распределение и носит название распределения Больцмана:
- <math>\bar n_j = ae^{ - {{\varepsilon _j } \over {kT}}}\,,</math>
где <math>\bar n_j</math> — среднее число частиц, находящихся в <math>j</math>-ом состоянии с энергией <math>\varepsilon _j</math>, а константа <math>a</math> определяется условием нормировки:
- <math>\sum{n_j}=N\,,</math>
где <math>N</math> — полное число частиц.
Распределение Больцмана является предельным случаем распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна для больших температур, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Данный предельный случай соответствует ситуации, когда заполнение энергетических уровней невелико и квантовыми эффектами можно пренебречьШаблон:Sfn.
Адиабатический процесс
<math>p</math> — давление газа;
<math>V</math> — объём
Шаблон:Main C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Запишем уравнение Клапейрона в таком виде:
- <math>pV=\nu RT\,.</math>
Продифференцировав обе части, получаем:
- <math>pdV+Vdp=\nu RdT\,. (1)</math>
Согласно экспериментально установленному закону Джоуля (закону Гей-Люссака — Джоуля) внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления или объёма газаШаблон:Sfn. По определению молярной теплоёмкости при постоянном объёме, <math>\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = C_V</math>Шаблон:Sfn. Поэтому получаем
| Шаблон:EF |
где <math>\nu</math> — число молей идеального газа.
Учитывая отсутствие теплообмена с окружающей средой имеемШаблон:Sfn:
| Шаблон:EF |
C учётом этого уравнение (1) приобретает вид
- <math>p\mathrm dV+V\mathrm dp=-p\mathrm dV \cdot \frac{R}{C_V}\,,</math>
далее, введя коэффициент <math>\mathsf{\gamma} = 1 + R/C_V</math>, получаем окончательно уравнение Пуассона:
- <math>p \, \cdot V^{\mathsf{\gamma}} = \mathrm{const}\,.</math>
Для нерелятивистского невырожденного одноатомного идеального газа <math>\mathsf{k}=5/3</math>[12], для двухатомного <math>\mathsf{k}=7/5</math>[12].
Скорость звука
Шаблон:Main Скорость звука в идеальном газе определяетсяШаблон:Sfn
- <math>c_s= \sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_s} = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\,, </math>
где Шаблон:Mvar — показатель адиабаты (Шаблон:Mvar), Шаблон:Mvar — энтропия на частицу газа, Шаблон:Mvar — плотность газа, Шаблон:Mvar — давление газа, Шаблон:Mvar — универсальная газовая постоянная, Шаблон:Mvar — температура, Шаблон:Mvar — молярная масса газа. Так как колебания плотности быстрые, то процесс в целом происходит без обмена теплом, что объясняет появление показателя адиабаты в выражении для скорости звука. Для воздуха возьмём Шаблон:Mvar = 1,4, Шаблон:Mvar =28,8, Шаблон:Mvar = 273 К, тогда cs=330 м/с.
Квантовый идеальный газ
Шаблон:Основная статья Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу. В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ)Шаблон:Sfn.
Ферми-газ
Шаблон:Main Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянииШаблон:Sfn. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёмаШаблон:Sfn. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми <math>E_F</math>). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газомШаблон:Sfn.
Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликахШаблон:Sfn.
Бозе-газ
Так как бозоны могут быть строго тождественны друг другу[13][14] и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры <math>T_0</math> возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при <math>T < T_0</math> давление Бозе-газа зависит только от температуры. Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия[15].
Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского бозе-газа является фотонный газ (тепловое излучение)[13][14]. Примером бозе-газа, состоящего из квазичастиц является фононный газШаблон:Sfn.
Идеальный газ в гравитационном поле
В ОТО-релятивистской термодинамике при термическом равновесии газовой (жидкой) сферы собственная температура, измеряемая местным наблюдателем, понижается при перемещении по радиусу от центра сферы к её поверхности. Этот релятивистский эффект невелик (исключая случай сверхсильных гравитационных полей) и у поверхности Земли им пренебрегаютШаблон:Sfn.
Реальное воздействие гравитационного поля на газ (жидкость) проявляется в первую очередь через зависимость гидростатического давления от высоты столба газа (жидкости). Влияние поля тяготения на термодинамические свойства системы можно не учитывать в том случае, когда изменение давления по высоте много меньше абсолютной величины давления. Не выходя за рамки термодинамики, Дж. Максвелл установилШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, что «…в вертикальной колонне газа, предоставленного самому себе, температура повсюду одинакова после того, как колонна достигла теплового равновесия посредством теплопроводности; другими словами, тяжесть не оказывает никакого влияния на распределение температур в колонне», и что этот вывод справедлив для любых газов (жидкостей), то есть равенство температур по всему объёму системы есть необходимое условие равновесия в гравитационном полеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Методами молекулярно-кинетической теории этот же результат для газов был получен Л. БольцманомШаблон:Sfn.
Зависимость давления от высоты изотермического столба идеального газа даёт барометрическая формула. В простейшей термодинамической модели, объясняющей наблюдаемую неизотермичность земной атмосферы, рассматривают не равновесное, а стационарное состояние столба идеального газа, достигаемое равновесным адиабатическим процессом циркуляции воздухаШаблон:Sfn, когда теплопередача в сторону убыли температуры (вверх), уравновешивается переносом потенциальной энергии молекул воздуха в обратном направленииШаблон:Sfn.
Пределы применимости теории идеального газа
Шаблон:Main Если плотность газа повышается, то столкновения молекул начинают играть всё бо́льшую роль и пренебрегать размерами и взаимодействием молекул становится невозможным. Поведение такого газа плохо описывается моделью идеального газа, в связи с чем его называют реальным газом[1]. Аналогично моделью идеального газа нельзя пользоваться при описании плазмы, в которой присутствует значительное взаимодействие между отдельными молекулами[16]. Для описания реальных газов применяются различные модифицированные уравнения состояния, например, вириальное разложение.
Другое широко используемое уравнение получается, если учесть, что молекула не бесконечно мала, а имеет определённый диаметр <math>d</math>, то уравнение Клапейрона для одного моля газа примет видШаблон:Sfn:
- <math>p(V-b) = RT\,,</math>
при этом величина <math>b</math> равнаШаблон:Sfn:
- <math>b=\frac{2\pi}{3}Nd^3\,,</math>
где <math>N</math> — число молекул в газе. Учёт дополнительно сил межмолекулярного притяжения (сил Ван-дер-Ваальса) приведёт к изменению уравнения до уравнения Ван-дер-ВаальсаШаблон:Sfn:
- <math>\left(p+\frac{a\nu^2}{V^2}\right)\left({V}-{b\nu}\right)=\nu RT\,.</math>
Существует ряд эмпирических уравнений состояния, например Бертло и Клаузиуса, которые ещё лучше описывают поведение реального газа в определённых условияхШаблон:Sfn.
Примечания
- Комментарии
- Источники
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Шаблон:Refend Шаблон:Библиоинформация Шаблон:Добротная статья Шаблон:Состояния материи
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ У. Томсон в 1845 году тщетно пытался достать в Париже книгу Карно. См. Кричевский И. Р., Понятия и основы термодинамики, 1970, с. 172.
- ↑ Шаблон:Статья Шаблон:Fr icon Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153—90). Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Статья Шаблон:De icon Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315—22). Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Статья Шаблон:De icon Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353—79). Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:БСЭ3
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Из БСЭ
- ↑ Коган М. Н. Динамика разрежённого газа // Кинетическая теория. — Шаблон:М., 1967.
- ↑ Шаблон:ФЭ
- ↑ 12,0 12,1 Шаблон:БСЭ3
- ↑ 13,0 13,1 Шаблон:Статья Шаблон:De icon
- ↑ 14,0 14,1 Шаблон:Статья Шаблон:De icon
- ↑ Шаблон:СтатьяШаблон:En icon
- ↑ Шаблон:БСЭ3
Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «K» не найдено соответствующего тега <references group="K"/>
