Русская Википедия:Идеальный цифровой инвариант

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, Шаблон:Lang-en) (известен также под именем число Мюнхаузена) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.

<math>n = d_k^{d_k} + d_{k-1}^{d_{k-1}} + \dots + d_2^{d_2} + d_1^{d_1}\,.</math>

0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 0⁰ = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (Шаблон:OEIS). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 0⁰ = 0, но это стандартное соглашение в этой областиШаблон:Sfn.

<math>3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435</math>

<math>4^4 + 3^3 + 8^8 + 5^5 + 7^7 + 9^9 + 0^0 + 8^8 + 8^8</math>

<math>= 256 + 27 + 16777216 + 3125 + 823543 + 387420489 + 0 + 16777216 + 16777216 = 438579088</math>

Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:

Пусть дано основание <math>b</math>. Любой ИЦИ <math>n</math> по основанию <math>b</math> равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна <math>a(b-1)^{b-1}</math>, где <math>a</math> — число цифр в <math>n</math>, поскольку <math>b-1</math> является наибольшей возможной цифрой по основанию <math>b</math>. Тогда,

<math>a(b-1)^{b-1}\geq n\geq b^{a-1}.</math>

Выражение <math>a(b-1)^{b-1}</math> растёт линейно от <math>a</math>, а выражение <math>b^{a-1}</math> растёт экспоненциально от <math>a</math>. Так что существует некоторое число <math>k>0</math>, такое, что

<math>\forall a\geq k,\,\, a(b-1)^{b-1}<b^{a-1}.</math>

Существует конечное число натуральных чисел <math>n</math>, имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел <math>n</math>, удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию <math>b</math>.

Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.

По всем основаниям 1 является ИЦИ.
По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 12₃ и 22₃. (5₁₀ и 8₁₀)
По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 131₄ и 313₄ (29₁₀ и 55₁₀)
По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 22352₆ и 23452₆ (3164₁₀ и 3416₁₀)
По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 13454₇ (3665₁₀)
По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 31₉, 156262₉ и 1656547₉ (28₁₀, 96446₁₀ и 923362₁₀)

При соглашении <math>0^0=0</math> следующие числа являются ИЦИ

По всем основаниям 0 является ИЦИ.
По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 130₄ (28₁₀)
По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 103₅ и 2024₅ (28₁₀ и 264₁₀)
По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 400₈ и 401₈ (256₁₀ и 257₁₀)
По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 30₉, 1647063₉ и 34664084₉ (27₁₀, 917.139₁₀ и 16.871.323₁₀)

Ссылки

• Шаблон:Cite web