Русская Википедия:Идеал полугруппы
Идеал полугруппы — подмножество <math>I </math> полугруппы <math>S </math>, которое замкнуто относительно умножения на элементы из <math>S</math>, где под умножением понимается алгебраическая операция над полугруппой.
Определение
Непустое подмножество <math>I </math> полугруппы <math>S</math> называется левым идеалом <math>S</math>, если: <math>SI \subset I</math>, где <math>SI</math> — множество произведений <math>si</math> элементов <math>s\in S</math> и <math>i\in I</math>.
<math>I </math> называется правым идеалом, если: <math>IS \subset I</math>.
<math>I </math> называется двусторонним идеалом, если выполнены оба этих условия. Также <math>I </math> называют просто идеалом, если оно является левым или правым идеалом <math>S</math>Шаблон:Нет АИ.
В произвольной полугруппе <math>S</math> для любого непустого подмножества <math>R \subset S</math> произведение <math>RS</math> является правым идеалом, <math>SR</math> — левым, а <math>SRS</math> — двусторонним.
Тривиальными идеалами, которыми обладает любая полугруппа, являются множество, состоящее из нулевого элемента полугруппы (если он есть), и вся полугруппа.
Примеры
- Множество чётных чисел образует двусторонний идеал полугруппы натуральных чисел относительно операции умножения <math>(\mathbb N, \cdot)</math>. Это следует из того факта, что чётное число умноженное на любое другое будет чётным.
- Множество константных функции — двусторонний идеал полугруппы <math>F </math> всех вещественных функций относительно операции композиции:
- Пусть <math>C </math> — множество всех константных функций (то есть для любой <math>c \in C</math>, значение <math>c(x)</math> не зависит от <math>x\in \mathbb R</math>).
- Чтобы множество <math>C </math> было двусторонним идеалом <math>F </math>, оно должно быть одновременно и левосторонним и правосторонним идеалом <math>F </math>.
- <math>C </math> — левосторонний идеал <math>F </math>, так как
- <math>\forall f \in F, \forall c \in C : fc = f(c(x)) = f(const) = const \in C </math>
- <math>C</math> — правосторонний идеал, так как
- <math>\forall f \in F, \forall c \in C : cf=c(f(x)) = const \Rightarrow CF \subset C</math>
- <math>C </math> — левосторонний идеал <math>F </math>, так как
- Пусть <math>S </math> — подмножество всех периодических функций.
- <math>S </math> является левым идеалом <math>F </math> относительно суперпозиции. Множество значений периодической функции представляет собой периодическую последовательность (<math>s(x) = s(x+T)</math>, где <math>T </math> — период функции), очевидно, что функция от периодической последовательности является периодической функцией: <math>f(s(x)) = f(s(x+T)) \Rightarrow \forall f \in F, \forall s \in S : fs \subset S</math>
- Но <math>S </math> не является правым идеалом. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести один пример, когда найдутся такие <math>f \in F</math> и <math>s \in S</math>, что условие <math>sf \in S</math> не выполняется. Возьмем функции: <math>sin(x) \in S</math>, <math>x^2 \in F</math>, результатом суперпозиции которых будет непериодическая функция <math>sin(x^2)</math>.
- Пусть <math>(\Kappa ,\cdot)</math> — полугруппа всех квадратных матриц порядка <math>n</math> относительно операции умножения, тогда множество, состоящее из матриц, у которых все элементы фиксированного столба равны <math>0</math> образует левый идеал.
- Пусть <math>D</math> — множество всех вырожденных матриц. Тогда <math>D</math> — двусторонний идеал <math>(\Kappa ,\cdot)</math>, так как произведение вырожденной матрицы на любую другую будет вырожденной матрицей.
Главные идеалы полугрупп
Главным идеалом (левым, правым, двусторонним) полугруппы <math>S</math>, порожденным элементом <math>\alpha</math>, называется наименьший идеал (соответственно левый, правый, двусторонний), содержащий <math>\alpha</math>.Главные левый, правый и двусторонний идеалы можно записать как:
- <math>L = S \alpha \cup \alpha</math>
- <math>R = \alpha S \cup \alpha</math>
- <math>D=S \alpha S \cup \alpha S \cup S \alpha \cup \alpha</math>
Если в полугруппе существует нейтральный элемент <math>e</math>, то главные левый, правый, двусторонний идеалы соответственно принимают вид:
- <math>L</math> = <math>S \alpha</math>
- <math>R</math> = <math>\alpha S</math>
- <math>D</math> = <math>S \alpha S</math>
Выделим несколько главных идеалов из приведенных выше примеров:
1) Множество <math>I</math> чётных чисел является главным двусторонним идеалом полугруппы <math>(N,\cdot)</math>. Так как каждый элемент множества <math>I</math> представляется в виде 2<math>k</math>, то его порождающим элементом является 2.
2) Доказано, что множество константных функций <math>C</math> есть двусторонний идеал полугруппы всех вещественных функций <math>F</math> относительно суперпозиции. Возьмем некую константную функцию <math>c(x)</math> за порождающий элемент. Тогда множество вида <math>F c</math> порождает множество <math>C</math>, так как охватывает всевозможные вещественные функции (достаточно взять множество функций вида <math>f(x)</math> = <math>x</math>+<math>r</math>, где <math>r</math> <math>\in</math> <math>R</math>) откуда вытекает, что <math>C</math> — главный левый идеал. Однако, <math>c F</math> не порождает <math>C</math>, поэтому <math>C</math> не является главным правым идеалом.
Литература
- Е. С. Ляпин, «Полугруппы» 1960 г.
