Русская Википедия:Иерархия алефов
Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множествШаблон:Sfn. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом <math>\aleph_0</math> (читается: «алеф-ноль»), далее следует <math>\aleph_1</math> (алеф-один) и так далее.
Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[1].
Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (<math>\infty</math>), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание (<math>-\infty</math> означает неограниченное убывание) функции, либо особую («Шаблон:D-») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.
Общее определение и свойства
Как сказано выше, символ <math>\aleph_0</math> обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть <math>\alpha</math> — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал <math>\omega_\alpha.</math> Тогда символ <math>\aleph_\alpha</math> обозначает[2] мощность множества всех порядковых чисел, меньших <math>\omega_\alpha.</math>
- Некоторые свойстваШаблон:Sfn.
- Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
- Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
- Предположение: <math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math> известно как континуум-гипотеза.
- Множество всех алефов, меньших заданного <math>\aleph_\alpha,</math> вполне упорядочено, и его порядковый тип равен <math>\alpha.</math>
- Кардинальное число <math>\aleph_{\alpha+1}</math> непосредственно следует за <math>\aleph_\alpha,</math> никаких промежуточных мощностей между ними нет.
- Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.
Примеры
Алеф-ноль
<math>\aleph_0</math> (алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел <math>\mathbb{N},</math> первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой <math>\omega</math> (омега), или <math>\omega_0;</math> оно имеет мощность <math>\aleph_0.</math>
Множество имеет мощность <math>\aleph_0</math> тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Примеры множеств мощности <math>\aleph_0</math>:
- множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
- множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
- множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
- множество всех целых чисел;
- множество всех рациональных чисел;
- совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
- множество всех алгебраических чисел,
- множество всех вычислимых чисел,
- множество всех Шаблон:Нп5;
- множество всех двоичных строк конечной длины;
- множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.
Бесконечные ординалы:
- <math>\omega, \omega+1, \omega \cdot 2, \omega^2, \omega^\omega</math>
все относятся к счётным множествам[3]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:
- {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности <math>\aleph_0</math>.
Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то <math>\aleph_0</math> меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.
Алеф-один
<math>\aleph_1</math> (алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается <math>\omega_1</math> (иногда <math>\Omega_1</math>). Ординал <math>\omega_1</math> больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, <math>\aleph_1</math> не совпадает с <math>\aleph_0</math> и больше его.
Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math> нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества <math>\omega_1\colon</math> любое счётное подмножество <math>\omega_1</math> имеет верхнюю границу в <math>\omega_1</math> (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в <math>\aleph_0</math>: каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.
Если принять континуум-гипотезу, то <math>\aleph_1</math> совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то континуум соответствует одному из более далёких алефов.
Арифметика алефов
Шаблон:Main Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. ПримерыШаблон:Sfn:
- Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: <math>\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha.</math>
- Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф.
- Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMEне указан текст - ↑ Шаблон:Citation
