Русская Википедия:Изгиб пластин
Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах (в общем случае произвольной толщины, но малым по сравнению с продольными размерами), под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально (в ненапряжённом состоянии) имеет плоскую форму.
Изгиб пластин в теории Кирхгофа — Лява
Определения
Для тонкой прямоугольной пластины толщиной <math>H</math>, модулем Юнга <math>E</math> и коэффициентом Пуассона <math>\nu</math>, можно определить упругие параметры в терминах прогиба пластины <math>w</math>.
В декартовой системе координат жёсткость при изгибе определяется
- <math>
D = \frac{EH^3}{12\left(1-\nu^2\right)}.
</math>
Моменты
Изгибные моменты на единицу длины задаютсяШаблон:Sfn
- <math>
M_{x} = -D \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right),
</math>
- <math>
M_{y} = -D \left( \nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right).
</math>
Крутящий момент на единицу длины определяется
- <math>
M_{xy} = -D \left( 1 - \nu \right) \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.
</math>
Силы
Сдвиговые силы на единицу длины определяются выражениемШаблон:Sfn
- <math>
Q_{x} = -D \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right),
</math>
- <math>
Q_{y} = -D \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right).
</math>
Напряжения
Компоненты изгибных напряжений определяются выражением
- <math>
\sigma_{x} = -\frac{12Dz}{H^3} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right),
</math>
- <math>
\sigma_{y} = -\frac{12Dz}{H^3} \left( \nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right).
</math> Напряжение сдвига задается
- <math>
\tau_{xy} = -\frac{12Dz}{H^3} \left(1-\nu\right) \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.
</math>
Деформации
Изгибающие деформации в теории для малых отклонений определяются
- <math>
\epsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x^2},
</math>
- <math>
\epsilon_{y} = \frac{\partial v}{\partial y} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}.
</math>
Деформации сдвига в теории для малых отклонений задаются
- <math>
\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = -2z\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.
</math>
В теории для больших отклонений пластин рассматривают деформации мембран в виде
- <math>
\epsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2,
</math>
- <math>
\epsilon_{y} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2,
</math>
- <math>
\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial w}{\partial y}.
</math>
Прогибы
Эти прогибы определяются
- <math>
u = -z\frac{\partial w}{\partial x},
</math>
- <math>
v = -z\frac{\partial w}{\partial y}.
</math>
Вывод
В теории пластин Кирхгофа — Лява система определяющих уравнений состоит из[1]
- <math>
N_{\alpha\beta,\alpha} = 0
</math>
и
- <math>
M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q = 0.
</math>
Или в развёрнутой (координатной) форме
- <math>
\cfrac{\partial N_{11}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{21}}{\partial x_2} = 0 ~;~~
\cfrac{\partial N_{12}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{22}}{\partial x_2} = 0,
</math>
и
- <math>
\cfrac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + 2\cfrac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1 \partial x_2} +
\cfrac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} = q.
</math> где <math>q(x)</math> приложенная поперечная нагрузка на единицу площади, а толщина плиты равна <math>H=2h</math>, напряжения <math>\sigma_{ij}</math>, и
- <math>
N_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h \sigma_{\alpha\beta}~dx_3 ~;~~
M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3~.
</math> Величина <math>N</math> имеет размерность единицы силы на единицу длины. Величина <math>M</math> имеет размерность единицы момента на единицу длины.
Для изотропных, однородных пластин с модулем Юнга <math>E</math> и коэффициентом Пуассона <math>\nu</math> эти уравнения сводятся к[2]
- <math>
\nabla^2\nabla^2 w = -\cfrac{q}{D} ~;~~ D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} = \cfrac{H^3E}{12(1-\nu^2)}
</math>
где <math>w(x_1,x_2)</math> прогиб средней поверхности пластины.
Малые прогибы тонких прямоугольных пластин
Малые прогибы тонких прямоугольных пластин описываются уравнением тонкой пластины Жермен — Лагранжа
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4}
+ 2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2}
+ \cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4}
= \cfrac{q}{D}.
</math>
Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. который исправил доклад Софи Жермен.
Большой прогиб тонких прямоугольных пластин
Большой прогиб тонких прямоугольных пластин описывается уравнениями для пластины Феппля — фон Кармана
- <math>
\cfrac{\partial^4 F}{\partial x^4} +
2\cfrac{\partial^4 F}{\partial x^2\partial y^2} +
\cfrac{\partial^4 F}{\partial y^4} =
E\left[\left(\cfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}\right)^2 -
\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2}
\cfrac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right],
</math>
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} +
2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} +
\cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} =
\cfrac{q}{D} + \cfrac{H}{D}\left(
\cfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} +
\cfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}\cfrac{\partial^2 w}{\partial y^2} -
2\cfrac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}\cfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}
\right),
</math> где <math>F</math> функция напряжения.
Круглые пластины Кирхгофа-Лява
Изгиб круглых пластин можно изучить, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. z расстояние точки от средней плоскости пластины.
Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид
- <math>
\nabla^2 \nabla^2 w = -\frac{q}{D} \,.
</math> В цилиндрических координатах <math>(r, \theta, z)</math>,
- <math>
\nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \,.
</math> Для симметрично нагруженных круглых пластин, где изгиб зависит от только радиуса <math> w = w(r)</math> получим
- <math>
\nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right) \,.
</math> Следовательно, основное уравнение приобретёт вид обыкновенного дифференциального уравненияШаблон:Sfn
- <math>
\frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left[r \cfrac{d }{d r}\left\{\frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right)\right\}\right] = -\frac{q}{D}\,.
</math> Если <math>q</math> и <math>D</math> постоянны, то прямое интегрирование основного уравнения имеет решение
- <math>
w(r) = -\frac{qr^4}{64 D} + C_1\ln r + \cfrac{C_2 r^2}{2} + \cfrac{C_3r^2}{4}(2\ln r - 1) + C_4 </math>
где <math>C_i</math> константы интегрирования. Наклон отклоняющей поверхности равен
- <math>
\phi(r) = \cfrac{d w}{d r} = -\frac{qr^3}{16D} + \frac{C_1}{r} + C_2 r + C_3 r \ln r \,.
</math> Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при <math>r = 0</math> подразумевает, что <math>C_1 = 0</math>. Однако, <math>C_3</math> не обязательно равняется 0, так как правый предел <math>r \ln r\,</math> существует по мере приближения к началу координат <math>r = 0</math>.
Закрепленные края
Для круглой пластины (радиуса a) с зажатыми краями <math>w(a) = 0</math> и <math>\phi(a) = 0</math> на краю пластины. Подставляя эти граничные условия в общее решение получаемШаблон:Sfn
- <math>
w(r) = -\frac{q}{64 D} (a^2 -r^2)^2 \quad \text{and} \quad \phi(r) = \frac{qr}{16 D}(a^2-r^2) \,. </math>
Смещения пластины в плоскости равны
- <math>
u_r(r) = -z\phi(r) \quad \text{and} \quad u_\theta(r) = 0 \,.
</math> Плоские деформации в пластине равны
- <math>
\varepsilon_{rr} = \cfrac{d u_r}{d r} = -\frac{qz}{16D}(a^2-3r^2) ~,~~
\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{u_r}{r} = -\frac{qz}{16D}(a^2-r^2) ~,~~
\varepsilon_{r\theta} = 0 \,.
</math> Напряжения в плоскости пластины равны
- <math>
\sigma_{rr} = \frac{E}{1-\nu^2}\left[\varepsilon_{rr} + \nu\varepsilon_{\theta\theta}\right] ~;~~
\sigma_{\theta\theta} = \frac{E}{1-\nu^2}\left[\varepsilon_{\theta\theta} + \nu\varepsilon_{rr}\right] ~;~~
\sigma_{r\theta} = 0 \,.
</math> Для плиты толщиной <math>2h</math>, жесткость на изгиб <math>D = 2Eh^3/[3(1-\nu^2)]</math> и
- <math>
\begin{align} \sigma_{rr} &= -\frac{3qz}{32h^3}\left[(1+\nu)a^2-(3+\nu)r^2\right] \\ \sigma_{\theta\theta} &= -\frac{3qz}{32h^3}\left[(1+\nu)a^2-(1+3\nu)r^2\right]\\ \sigma_{r\theta} &= 0 \,. \end{align} </math>
Результирующие моменты (изгибные моменты) равны
- <math>
M_{rr} = -\frac{q}{16}\left[(1+\nu)a^2-(3+\nu)r^2\right] ~;~~
M_{\theta\theta} = -\frac{q}{16}\left[(1+\nu)a^2-(1+3\nu)r^2\right] ~;~~
M_{r\theta} = 0 \,.
</math> Максимальное радиальное напряжение при <math>z = h</math> и <math>r = a</math>:
- <math>
\left.\sigma_{rr}\right|_{z=h,r=a} = \frac{3qa^2}{16h^2} = \frac{3qa^2}{4H^2}
</math> где <math>H := 2h</math>. Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равныШаблон:Sfn
- <math>
\left.M_{rr}\right|_{r=a} = \frac{qa^2}{8} ~,~~
\left.M_{\theta\theta}\right|_{r=a} = \frac{\nu qa^2}{8} ~,~~
\left.M_{rr}\right|_{r=0} = \left.M_{\theta\theta}\right|_{r=0} = -\frac{(1+\nu) qa^2}{16} \,.
</math>
Круговая пластина нагруженная силой зависящей от радиуса
Прямоугольные пластины Кирхгофа-Лява
Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина опирается на края. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонент ряда Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одна гармоника Фурье), а затем сложить гармоники Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.
Синусоидальная нагрузка
Предположим, что нагрузка имеет видШаблон:Sfn
- <math>
q(x,y) = q_0 \sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b} \,.
</math> Здесь <math>q_0</math> амплитуда, <math>a</math> ширина пластины в направлении <math>x</math> и <math>b</math> ширина пластины в направлении <math>y</math>.
Поскольку пластина просто поддерживается на краях, то смещение <math>w(x,y)</math> на краях пластины равно нулю, и изгибающий момент <math>M_{xx}</math> также равен нулю на границах <math>x=0</math> и <math>x=a</math>, <math>M_{yy}</math> равен нулю на границах <math>y=0</math> и <math>y=b</math>.
При этих граничные условиях и решение уравнения для пластины имеет видШаблон:Sfn
- <math>
w(x,y) = \frac{q_0}{\pi^4 D}\,\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^{-2}\,\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b} \,.
</math> Где D жесткость на изгиб
- <math>
D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}. </math> Analogous to flexural stiffness EI.[3] Напряжения и деформации в пластине можно рассчитать, если знаем смещение.
При общей нагрузки в виде
- <math>
q(x,y) = q_0 \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}
</math> где <math>m</math> и <math>n</math> целые, получим решениеШаблон:Sfn
- <math> \text{(1)} \qquad
w(x,y) = \frac{q_0}{\pi^4 D}\,\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)^{-2}\,\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} \,. </math>
Решение Навье
Уравнение для двумерного тригонометрического ряда
Определяем общую нагрузку <math>q(x,y)</math> в видеШаблон:Sfn
- <math>
q(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}
</math> где <math>a_{mn}</math> коэффициент Фурье, определяемый формулойШаблон:Sfn
- <math>
a_{mn} = \frac{4}{ab}\int_0^b \int_0^a q(x,y)\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,\text{d}x\text{d}y
</math>. Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} =
\cfrac{1}{D} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}
</math>
Свободно опёртая пластина с общей нагрузкой
Предполагаем решение <math>w(x,y)</math> вида
- <math>
w(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}
</math> Частные дифференциалы этой функции даются выражениями
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty
\left(\frac{m \pi}{a}\right)^4 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}.
</math>
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty
\left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b},
</math>
- <math>
\cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty
\left(\frac{n \pi}{b}\right)^4 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}.
</math> Подставляя эти выражения в уравнение для пластины, получим
- <math>
\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty
\left( \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 \right)^2
w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} =
\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \cfrac{a_{mn}}{D} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b}
</math> Приравнивая два ряда получим для коэффициентов
- <math>
\left( \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 \right)^2 w_{mn} = \cfrac{a_{mn}}{D}
</math> или при перестановки получим
- <math>
w_{mn} = \frac{1}{\pi^4 D}\frac{a_{mn}}{\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2}
</math> Прогиб свободно опертой пластины (на углах) при общей нагрузке задаётся выражениемШаблон:Sfn
- <math>
w(x,y) = \frac{1}{\pi^4 D} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{mn}}{\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} </math>
Свободно опёртая пластина с постоянной нагрузкой
Для равномерно распределенной нагрузки имеем
- <math>
q(x,y) = q_0
</math> Таким образом, соответствующий коэффициент Фурье определяется выражением
- <math>
a_{mn} = \frac{4}{ab} \int_0^a \int_0^b q_0\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,\text{d}x\text{d}y
</math>. Вычисляя двойной интеграл, имеем
- <math>
a_{mn} = \frac{4q_0}{\pi^2 mn}(1 - \cos m\pi)(1 - \cos n\pi)
</math>, или в другом виде кусочно-заданной функции
- <math>
a_{mn} = \begin{cases}
\cfrac{16q_0}{\pi^2 mn} & m~\text{and}~n~\text{odd} \\
0 & m~\text{or}~n~\text{even}
\end{cases}
</math>
Прогиб свободно опертой пластины (с условиями на углах) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением
- <math>
w(x,y) = \frac{16 q_0}{\pi^6 D} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{1}{mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} </math>
Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением
- <math>
M_{x} = \frac{16 q_0}{\pi^4} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\frac{m^2}{a^2} + \nu\frac{n^2}{b^2}} {mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} </math>
- <math>
M_{y} = \frac{16 q_0}{\pi^4} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\frac{n^2}{b^2} + \nu\frac{m^2}{a^2}} {mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} </math>
Решение Леви
Другой подход был предложен Леви[4] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись определяющее уравнение и граничные условия. Цель — найти рашения основного уравнения <math>\nabla^2 \nabla^2 w = q/D</math><math>Y_m(y)</math> такие, что они удовлетворяют граничным условиям при <math>y = 0</math> и <math>y = b</math>.
Предположим, чтоШаблон:Sfn
- <math>
w(x,y) = \sum_{m=1}^\infty Y_m(y) \sin \frac{m\pi x}{a} \,.
</math> Для пластины, которая свободно опирается краями при <math>x=0</math> и <math>x=a</math>, граничные условия: <math>w=0</math> и <math>M_{xx}=0</math>. Обратите внимание, что на этих краях нет изменений смещения, что означает <math>\partial w/\partial y = 0</math> и <math>\partial^2 w/\partial y^2 = 0</math>, сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению <math>\partial^2 w/\partial x^2 = 0</math>.
Моменты на краях
Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В этом случае <math>q = 0</math> и функция <math>w(x,y)</math> должна удовлетворять уравнению <math>\nabla^2 \nabla^2 w = 0</math>. в В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение выражается как
- <math>
\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2}
+ \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = 0 \,.
</math> Подставляем выражение для <math>w(x,y)</math> в основное уравнение что приводит кШаблон:Sfn
- <math>
\sum_{m=1}^\infty \left[\left(\frac{m\pi}{a}\right)^4 Y_m \sin\frac{m\pi x}{a}
- 2\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 \cfrac{d^2 Y_m}{d y^2} \sin\frac{m\pi x}{a}
+ \frac{d^4Y_m}{dy^4} \sin\frac{m\pi x}{a}\right] = 0
</math> или
- <math>
\frac{d^4Y_m}{dy^4} - 2 \frac{m^2\pi^2}{a^2} \cfrac{d^2Y_m}{dy^2} + \frac{m^4\pi^4}{a^4} Y_m = 0 \,.
</math> Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решениеШаблон:Sfn
- <math>
Y_m = A_m \cosh\frac{m\pi y}{a} + B_m\frac{m\pi y}{a} \cosh\frac{m\pi y}{a} +
C_m \sinh\frac{m\pi y}{a} + D_m\frac{m\pi y}{a} \sinh\frac{m\pi y}{a}
</math> где <math>A_m, B_m, C_m, D_m</math> константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, изгибное решение имеет вид
- <math>
w(x,y) = \sum_{m=1}^\infty \left[ \left(A_m + B_m\frac{m\pi y}{a}\right) \cosh\frac{m\pi y}{a} + \left(C_m + D_m\frac{m\pi y}{a}\right) \sinh\frac{m\pi y}{a} \right] \sin \frac{m\pi x}{a} \,. </math>
Выберем систему координат так, чтобы границы пластины находились на краях при <math>x = 0</math> и <math>x = a</math>, при <math>y = \pm b/2</math>. Тогда граничные условия на моменты при <math>y = \pm b/2</math>
- <math>
w = 0 \,, -D\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\Bigr|_{y=b/2} = f_1(x) \,,
-D\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\Bigr|_{y=-b/2} = f_2(x)
</math> где <math>f_1(x), f_2(x)</math> известные функции. Решение можно найти, используя эти граничные условия. Можно показать, что для симметричного случая, когда
- <math>
M_{yy}\Bigr|_{y=-b/2} = M_{yy}\Bigr|_{y=b/2}
</math> и
- <math>
f_1(x) = f_2(x) = \sum_{m=1}^\infty E_m\sin\frac{m\pi x}{a}
</math> получимШаблон:Sfn
- <math>
w(x,y) = \frac{a^2}{2\pi^2 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{E_m}{m^2\cosh\alpha_m}\, \sin\frac{m\pi x}{a}\, \left(\alpha_m \tanh\alpha_m \cosh\frac{m\pi y}{a} - \frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a}\right) </math>
где
- <math>
\alpha_m = \frac{m\pi b}{2a} \,.
</math> Аналогично для антисимметричного случая, когда
- <math>
M_{yy}\Bigr|_{y=-b/2} = -M_{yy}\Bigr|_{y=b/2}
</math> получимШаблон:Sfn
- <math>
w(x,y) = \frac{a^2}{2\pi^2 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{E_m}{m^2\sinh\alpha_m}\, \sin\frac{m\pi x}{a}\, \left(\alpha_m \coth\alpha_m \sinh\frac{m\pi y}{a} - \frac{m\pi y}{a}\cosh\frac{m\pi y}{a}\right) \,. </math>
Используя симметричные и антисимметричные решения, можно составить более общие решения.
Опёртая пластина с равномерно распределенной нагрузкой
Для равномерно распределенной нагрузки
- <math>
q(x,y) = q_0
</math>
Отклонение опёртой пластины с центром при <math>\left(\frac{a}{2}, 0\right)</math> с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражениемШаблон:Sfn
- <math>
\begin{align} &w(x,y) = \frac{q_0 a^4}{D} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \left( A_m\cosh\frac{m\pi y}{a} + B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} + G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a}\\\\ &\begin{align} \text{where}\quad &A_m = -\frac{2\left(\alpha _m\tanh\alpha _m + 2\right)}{\pi^5 m^5 \cosh\alpha _m}\\ &B_m = \frac{2}{\pi^5 m^5 \cosh\alpha _m}\\ &G_m = \frac{4}{\pi^5 m^5}\\\\ \quad &\alpha _m = \frac{m\pi b}{2a} \end{align} \end{align} </math>
Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражениями
- <math>
M_x = -q_0\pi^2 a^2\sum_{m=1,3,5,...}^\infty m^2\left( \left(\left(\nu -1\right)A_m + 2\nu B_m\right)\cosh\frac{m\pi y}{a} + \left(\nu -1\right)B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} - G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a} </math>
- <math>
M_y = -q_0\pi^2 a^2\sum_{m=1,3,5,...}^\infty m^2\left( \left(\left(1-\nu\right)A_m + 2B_m\right)\cosh\frac{m\pi y}{a} + \left(1-\nu\right)B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} - \nu G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a} </math>
Равномерная и симметричная моментная нагрузка
Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, при <math>y=\pm b/2</math>,
- <math>
M_{yy} = f_1(x) = \frac{4M_0}{\pi}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2m-1}\,\sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \,.
</math>
Результирующий изгиб равен
- <math>
\begin{align} & w(x,y) = \frac{2M_0 a^2}{\pi^3 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(2m-1)^3\cosh\alpha_m}\sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \times\\ & ~~ \left[ \alpha_m\,\tanh\alpha_m\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a} -\frac{(2m-1)\pi y}{a} \sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\right] \end{align} </math>
где
- <math>
\alpha_m = \frac{\pi (2m-1)b}{2a} \,.
</math> Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению <math>w</math> находятся по формулам
- <math>
\begin{align}
M_{xx} & = -D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\nu\,\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right) \\
& = \frac{2M_0(1-\nu)}{\pi}\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{(2m-1)\cosh\alpha_m}\,\times \\
& ~ \sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \,\times \\
& ~ \left[
-\frac{(2m-1)\pi y}{a}\sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a} + \right. \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad
\left. \left\{\frac{2\nu}{1-\nu} + \alpha_m\tanh\alpha_m\right\}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a}
\right] \\
M_{xy} & = (1-\nu)D\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \\
& = -\frac{2M_0(1-\nu)}{\pi}\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{(2m-1)
\cosh\alpha_m}\,\times \\
& ~ \cos\frac{(2m-1)\pi x}{a} \, \times \\
& ~ \left[\frac{(2m-1)\pi y}{a}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a} + \right. \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad
\left. (1-\alpha_m\tanh\alpha_m)\sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\right] \\
Q_{zx} & = \frac{\partial M_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial M_{xy}}{\partial y} \\
& = \frac{4M_0}{a}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{\cosh\alpha_m}\,\times \\
& ~ \cos\frac{(2m-1)\pi x}{a}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\,.
\end{align}
</math> Напряжения
- <math>
\sigma_{xx} = \frac{12z}{h^3}\,M_{xx} \quad \text{and} \quad
\sigma_{zx} = \frac{1}{\kappa h}\,Q_{zx}\left(1 - \frac{4z^2}{h^2}\right)\,.
</math>
Изгиб цилиндрической пластины
Цилиндрический изгиб возникает, когда прямоугольная пластина имеющая размеры <math>a \times b \times h</math>, где <math>a \ll b</math> и малую толщину <math>h</math>, подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.
С помощью методов Навье и Леви также можно найти решения для свободно опёртых пластин при цилиндрическом изгибе с различным количеством незакреплённых краёвШаблон:Sfn.
Изгиб толстых пластин Миндлина
Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвиговых напряжений по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает единый подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина можно получить из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений[5].
Основные уравнения
Канонические уравнения для изотропных толстых пластин можно записать в виде[5]
- <math>
\begin{align}
& \nabla^2 \left(\mathcal{M} - \frac{\mathcal{B}}{1+\nu}\,q\right) = -q \\
& \kappa G h\left(\nabla^2 w + \frac{\mathcal{M}}{D}\right) =
-\left(1 - \cfrac{\mathcal{B} c^2}{1+\nu}\right)q \\
& \nabla^2 \left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}\right)
= c^2\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}\right)
\end{align}
</math> где <math>q</math> приложенная поперечная нагрузка, <math>G</math> модуль сдвига, <math>D = Eh^3/[12(1-\nu^2)]</math> жесткость на изгиб, <math>h</math> толщина пластины, <math>c^2 = 2\kappa G h/[D(1-\nu)]</math>, <math>\kappa</math> коэффициент поправки сдвигового напряжения, <math>E</math> модуль Юнга, <math>\nu</math> коэффициент Пуассона и
- <math>
\mathcal{M} = D\left[\mathcal{A}\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}\right)
- (1-\mathcal{A})\nabla^2 w\right] + \frac{2q}{1-\nu^2}\mathcal{B} \,.
</math> Согласно теории Миндлина <math>w</math> поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> соответственные повороты нормали к средней поверхности относительно <math>x_2</math> и <math>x_1</math>-осей. Канонические параметры этой теории <math>\mathcal{A} = 1</math> и <math>\mathcal{B} = 0</math>. Коэффициент поправки сдвигового напряжения <math>\kappa</math> обычно принимают за <math>5/6</math>.
Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений
- <math>
\begin{align}
w & = w^K + \frac{\mathcal{M}^K}{\kappa G h}\left(1 - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right)
- \Phi + \Psi \\
\varphi_1 & = - \frac{\partial w^K}{\partial x_1}
- \frac{1}{\kappa G h}\left(1 - \frac{1}{\mathcal{A}} - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right)Q_1^K
+ \frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{D}{\kappa G h \mathcal{A}}\nabla^2 \Phi + \Phi - \Psi\right)
+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Omega}{\partial x_2} \\
\varphi_2 & = - \frac{\partial w^K}{\partial x_2}
- \frac{1}{\kappa G h}\left(1 - \frac{1}{\mathcal{A}} - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right)Q_2^K
+ \frac{\partial }{\partial x_2}\left(\frac{D}{\kappa G h \mathcal{A}}\nabla^2 \Phi + \Phi - \Psi\right)
+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Omega}{\partial x_1}
\end{align}
</math> где <math>w^K</math> это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява, <math>\Phi</math> бигармоническая функция такая, что <math>\nabla^2 \nabla^2 \Phi = 0</math>, <math>\Psi</math> функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, <math>\nabla^2 \Psi = 0</math> и
- <math>
\begin{align}
\mathcal{M} & = \mathcal{M}^K + \frac{\mathcal{B}}{1+\nu}\,q + D \nabla^2 \Phi ~;~~ \mathcal{M}^K := -D\nabla^2 w^K \\
Q_1^K & = -D\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\nabla^2 w^K\right) ~,~~
Q_2^K = -D\frac{\partial }{\partial x_2}\left(\nabla^2 w^K\right) \\
\Omega & = \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1} ~,~~ \nabla^2 \Omega = c^2\Omega \,.
\end{align}
</math>
Свободно опёртые прямоугольные пластины
Для свободно опертых пластин сумма моментов Маркуса равна нулю
- <math>
\mathcal{M} = \frac{1}{1+\nu}(M_{11}+M_{22}) = D\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}+\frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}\right) = 0 \,.
</math> В этом случае функции <math>\Phi</math>, <math>\Psi</math>, <math>\Omega</math> равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением
- <math>
w = w^K + \frac{\mathcal{M}^K}{\kappa G h} \,.
</math>
Изгиб консольно-закреплённых пластин Рейсснера-Штейна
Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин[6] приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной нагрузкой на торце <math>q_x(y)</math> в точке <math>x=a</math>.
- <math>
\begin{align}
& bD \frac{\mathrm{d}^4w_x}{\mathrm{d}x^4} = 0 \\
& \frac{b^3D}{12}\,\frac{\mathrm{d}^4\theta_x}{\mathrm{d}x^4} - 2bD(1-\nu)\cfrac{d^2 \theta_x}{d x^2} = 0
\end{align}
</math> и граничных условиях в точке <math>x=a</math>
- <math>
\begin{align}
& bD\cfrac{d^3 w_x}{d x^3} + q_{x1} = 0 \quad,\quad
\frac{b^3D}{12}\cfrac{d^3 \theta_x}{d x^3} -2bD(1-\nu)\cfrac{d \theta_x}{d x} + q_{x2} = 0 \\
& bD\cfrac{d^2 w_x}{d x^2} = 0 \quad,\quad \frac{b^3D}{12}\cfrac{d^2 \theta_x}{d x^2} = 0 \,.
\end{align}
</math> Решение этой системы двух ОДУ дает
- <math>
\begin{align}
w_x(x) & = \frac{q_{x1}}{6bD}\,(3ax^2 -x^3) \\
\theta_x(x) & = \frac{q_{x2}}{2bD(1-\nu)}\left[x - \frac{1}{\nu_b}\,
\left(\frac{\sinh(\nu_b a)}{\cosh[\nu_b (x-a)]} + \tanh[\nu_b(x-a)]\right)\right]
\end{align}
</math> где <math>\nu_b = \sqrt{24(1-\nu)}/b</math>. Изгибные моменты и поперечные силы, соответствующие смещению <math>w = w_x + y\theta_x</math>
- <math>
\begin{align}
M_{xx} & = -D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\nu\,\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right) \\
& = q_{x1}\left(\frac{x-a}{b}\right) - \left[\frac{3yq_{x2}}{b^3\nu_b\cosh^3[\nu_b(x-a)]}\right]
\times \\
& \quad \left[6\sinh(\nu_b a) - \sinh[\nu_b(2x-a)] +
\sinh[\nu_b(2x-3a)] + 8\sinh[\nu_b(x-a)]\right] \\
M_{xy} & = (1-\nu)D\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \\
& = \frac{q_{x2}}{2b}\left[1 -
\frac{2+\cosh[\nu_b(x-2a)] - \cosh[\nu_b x]}{2\cosh^2[\nu_b(x-a)]}\right] \\
Q_{zx} & = \frac{\partial M_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial M_{xy}}{\partial y} \\
& = \frac{q_{x1}}{b} - \left(\frac{3yq_{x2}}{2b^3\cosh^4[\nu_b(x-a)]}\right)\times
\left[32 + \cosh[\nu_b(3x-2a)] - \cosh[\nu_b(3x-4a)]\right. \\
& \qquad \left. - 16\cosh[2\nu_b(x-a)] +
23\cosh[\nu_b(x-2a)] - 23\cosh(\nu_b x)\right]\,.
\end{align}
</math> Напряжения
- <math>
\sigma_{xx} = \frac{12z}{h^3}\,M_{xx} \quad \text{and} \quad
\sigma_{zx} = \frac{1}{\kappa h}\,Q_{zx}\left(1 - \frac{4z^2}{h^2}\right)\,.
</math> Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки при сосредоточенной торцевой нагрузке. Если приложенная нагрузка — линейная функция <math>y</math>, то
- <math>
q_{x1} = \int_{-b/2}^{b/2}q_0\left(\frac{1}{2} - \frac{y}{b}\right)\,\text{d}y = \frac{bq_0}{2} ~;~~
q_{x2} = \int_{-b/2}^{b/2}yq_0\left(\frac{1}{2} - \frac{y}{b}\right)\,\text{d}y = -\frac{b^2q_0}{12} \,.
</math>
Ссылки
Литература
- ↑ Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.
- ↑ Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., (1959), Theory of plates and shells, McGraw-Hill New York.
- ↑ Cook, R. D. et al., 2002, Concepts and applications of finite element analysis, John Wiley & Sons
- ↑ Lévy, M., 1899, Comptes rendues, vol. 129, pp. 535—539
- ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
