Русская Википедия:Измеримая функция
Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.
Определение
Пусть <math>(X,\mathcal{F})</math> и <math>(Y,\mathcal{G})</math> — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция <math>f: X\to Y</math> называется <math>\mathcal{F} / \mathcal{G}</math>-измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из <math>\mathcal{G}</math> принадлежит <math>\mathcal{F}</math>, то есть
- <math>\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},</math>
где <math>f^{-1}(B)</math> означает прообраз множества <math>B</math>.
Замечания
- Если <math>X</math> и <math>Y</math> — топологические пространства, и алгебры <math>\mathcal{F}</math> и <math>\mathcal{G}</math> явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
- Смысл данного определения в том, что если на множестве <math>X</math> задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество <math>Y</math>.
Вещественнозначные измеримые функции
Пусть дана функция <math>f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:
- Функция <math>f</math> измерима, если
- <math>\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \ > c\} \in \mathcal{F}</math>.
- Функция <math>f</math> измерима, если
- <math>\forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a \le b</math>, имеем <math>\{x\in X \mid f(x) \in \langle a,b\rangle \} \in \mathcal{F}</math>,
- где <math>\langle a,b\rangle</math> обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.
Связанные определения
- Пусть <math>(X,\mathcal{F}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> и <math>(Y,\mathcal{G}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция <math>f: (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> называется борелевской.
- Измеримая функция <math>f:(\Omega, \mathcal{F}) \to (Y,\mathcal{G})</math>, где <math>\Omega</math> — множество элементарных исходов, а <math>\mathcal{F}</math> — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой <math>(Y,\mathcal{G})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>.
Примеры
- Пусть <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
- Пусть <math>f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),</math> и <math>f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in X</math> — индикатор множества <math>A \not\in \mathcal{F}.</math> Тогда функция <math>f</math> не является измеримой.
Свойства
- Теорема Лузина. Функция <math>f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> измерима тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует непрерывная функция <math>h\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> отличающаяся от <math>f</math> на множестве меры не больше <math>\varepsilon</math>.
История
В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.
Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.
Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
- Шаблон:Статья
- Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.
