Русская Википедия:Изогональная фигура
Изогональный или вершинно транзитивный многогранник — многогранник, все вершины которого эквивалентны. В частности все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями. Термин также может быть применён к многоугольникам или замощениям и так далее.
Формально, мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия политопа, отображающая первую вершину изометрично во вторую. Другой путь сказать то же самое — что группа автоморфизмов политопа транзитивна на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии.
Все вершины конечной n-мерной изогональной фигуры существуют на (n-1)-сфере.
Термин изогональный давно использовался в контексте многогранников. Термин вершинно транзитивный является синонимом, позаимствованным из современных идей групп симметрии и теории графов.
Четырёхскатный повернутый купол — не являющийся изогональным — демонстрирует, что утверждение «все вершины выглядят одинаковыми» не столь ограничительно, как определение, приведённое выше, которое вовлекает группу изометрий, сохраняющую многогранник или мозаику.
Изогональные многоугольники и бесконечноугольники
Все правильные многоугольники, бесконечноугольники и правильные звёздчатые многоугольники являются изогональными. Двойственная фигура для изогонального многоугольника — изотоксальный многоугольник.
Некоторые многоугольники с чётным числом сторон и бесконечноугольники, с попеременными двумя длинами сторон, например прямоугольник, являются изогональными.
Все плоские изогональные 2n-угольники имеют диэдральную симметрию (Dn, n=2,3,...) с осями симметрии через середины сторон.
| D2 | D3 | D4 | D7 |
|---|---|---|---|
| Файл:Crossed rectangles.png Изогональные прямоугольники и Шаблон:Не переведено 5 имеют одно и то же Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular truncation 3 0.75.svg Изогональная гексаграмма с 6 идентичными вершинами и двумя длинами рёбер Шаблон:Sfn |
Файл:Vertex-transitive-octagon.svg Изогональный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными осями симметрии |
Файл:Regular polygon truncation 7 3.svg Изогональный «звёздчатый» четырнадцатиугольник с одним типом вершин и двумя типами рёбер Шаблон:Sfn. |
Изогональные 3-мерные многогранники и 2D-мозаики
| Файл:Isogonal snub square tiling.png |
| Деформированная квадратная мозаика |
| Файл:Distorted truncated square tiling.png |
| Деформированная усечённая квадратная мозаика |
Изогональный многогранник (3D) и 2D-мозаика имеют единственный вид вершин. Изогональный многогранник с правильными гранями является также однородным многогранником и может быть представлен нотацией вершинной конфигурации, путём последовательного перечисления граней вокруг каждой вершины. Геометрически деформированные варианты однородных многогранников и мозаик могут также быть заданы вершинной конфигурацией.
| D3d, порядок 12 | Th, порядок 24 | Шаблон:Не переведено 5, порядок 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
| Файл:Cantic snub hexagonal hosohedron2.png Деформированная шестиугольная призма |
Файл:Cantic snub octahedron.png Деформированный ромбокубооктаэдр |
Файл:Truncated rhombicuboctahedron nonuniform.png Слегка усечённый кубооктаэдр |
Файл:Cube truncation 1.50.png Сверхусечённый куб |
Изогональные 3D-многогранники и 2D-мозаики можно классифицировать далее
- Правильный — если он также изоэдрален (транзитивен по граням) и изотоксален (рёберно транзитивен). Из этого следует, что все грани многогранника являются правильными многоугольниками одного вида.
- Квазиправильный — если он также изотоксален (рёберно транзитивен), но не изоэдрален (транзитивен по граням).
- Полуправильный — если любая грань является правильным многоугольником, но многогранник не изоэдрален (транзитивен по граням) или не изотоксален (рёберно транзитивен). (Определение полуправильного многогранника зависит от автора. Некоторые авторы исключают тела с диэдральной симметрией или невыпуклые тела.)
- Однородный — если любая грань является правильным многоугольником, т.е. многогранник правильный, семиправильный или полуправильный.
- Шаблон:Не переведено 5 — если он также изоэдрален (транзитивен по граням).
Размерность N(> 3) — изогональные многогранники и мозаики
Определения изогональных фигур могут быть распространены на многогранники более высоких размерностей и соты. В общем случае все однородные многогранники являются изогональными, например, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.
Двойственный многогранник для изогонального многогранника является Шаблон:Не переведено 5, т.е. транзитивен по фасетам.
k-изогональные и k-однородные фигуры
Многогранник или соты называются k-изогональными, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничивающий термин, k-однородный определяется как k-изогональная фигура, состоящая только из правильных многоугольников. Они могут быть представлены визуально различными цветами однородной раскраски.
| Файл:Truncated rhombic dodecahedron2.png Этот Шаблон:Не переведено 5 является 2-изогональным, поскольку он содержит два класса транзитивности вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и сплюснутых шестиугольников. |
Файл:2-uniform 11.png Эта полуправильная мозаика является также 2-изогональной (и 2-однородной). Эта мозаика состоит из правильных треугольных и правильных шестиугольных граней. |
Файл:Enneagram 9-4 icosahedral.svg 2-изогональная 9/4 эннеаграмма |
См. также
- Изотоксальная фигура (рёберно-транзитивная)
- Изоэдральная фигура (транзитивная по граням)
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга Figure 1. Parameter t=2.0
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга (p. 33 k-isogonal tiling; p. 65 k-uniform tilings)
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- George Olshevsky Transitivity Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
- George Olshevsky Glossary for Hyperspace. Archived from the original Шаблон:Wayback on 4 February 2007.
- Isogonal Kaleidoscopical Polyhedra Шаблон:Wayback Vladimir L. Bulatov, Physics Department, Oregon State University, Corvallis, Presented at Mosaic2000, Millennial Open Symposium on the Arts and Interdisciplinary Computing, 21–24 August 2000, Seattle, WA VRML models Шаблон:Wayback
- Steven Dutch uses the term k-uniform for enumerating k-isogonal tilings
- List of n-uniform tilings Шаблон:Wayback
- Шаблон:MathWorld (Also uses term k-uniform for k-isogonal)
