Русская Википедия:Изолированная особая точка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция <math>f(z)</math> однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо недифференцируема. Например, точка <math>z = 0</math> является изолированной особой точкой для функции <math>z^{-1}</math>, а особая точка <math>z = 0</math> функции <math>f(z)=(1+e^{1/z})^{-1}</math> изолированной не является, поскольку основание обращается в нуль при <math>z_k=(\pi(2k+1)i)^{-1}</math> для всякого целого <math>k</math>.

Если <math>a</math> — изолированная особая точка для <math>f(z)</math>, то <math>f(z)</math>, будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности:

<math>f(z)=\sum_{n\in\Z}a_n(z-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}</math>.

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая — главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения — точка может быть устранимой (если главная часть равна нулю), полюсом (главная часть содержит конечное число ненулевых членов) или существенно особой (главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов).

Литература

• Шаблон:Из