Русская Википедия:Изометрическая эквивалентность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылок Два множества <math>A,B \in \mathbb{R}^{n}</math> называются изометрически эквивалентными, если существует движение <math>f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}</math>, переводящее <math>A</math> в <math>B</math>. то есть<math>f(A) = B </math>.

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств <math>\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math> множества <math>\mathbb{R}^{n}</math> и, в частности, на любом подмножестве <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math>.

Например, если <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{2})</math> —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\,=1</math>  — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, <math>0 <b \le a</math>;
•    <math> \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\,=1</math>  — двупараметрическое семействогипербол, <math>0 <b \le a</math>;
•    <math> y^2 = 2px</math>  — однопараматрическое семейство парабол, <math> 0 < p</math>;
•    <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\,= - 1</math>  — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, <math>0 <b \le a</math>.

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик