Русская Википедия:Изоморфизм категорий
Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории <math>C</math> и <math>D</math> изоморфны, если существуют функторы <math>F\colon C\to D</math> и <math>G\colon D\to C</math>, которые являются обратными друг другу, то есть, <math>FG = 1_D</math> (функтор тождественности на <math>D</math>) и <math>GF= 1_C</math>Шаблон:Sfn. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.
Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы <math>FG</math> был равен to <math>1_D</math>, а лишь естественно изоморфен <math>1_D</math>, и аналогично <math>GF</math> был естественно изоморфен <math>1_C</math>.
Функтор <math>F\colon C\to D</math> создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмовШаблон:Sfn; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора <math>G</math>.
Примеры
Для конечной группы <math>G</math>, поле <math>k</math> и групповой алгебры <math>kG</math> категория <math>k</math>-линейных представлений группы группы <math>G</math> изоморфна категории левых модулей над <math>kG</math>. Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы <math>\rho\colon G \to \mathbf{GL}(V)</math>, где <math>V</math> — векторное пространство над <math>k</math>, <math>\mathbf{GL}(V)</math> является группой его <math>k</math>-линейных автоморфизмов, а <math>\rho</math> является гомоморфизмом групп, <math>V</math> переводится в левый <math>kG</math>-модуль следующим образом:
- <math>\left(\sum_{g\in G} a_g g\right) v = \sum_{g\in G} a_g \rho(g)(v)</math>
для любого <math>v</math> из <math>V</math> и любого элемента <math>\sum a_g, g\in kG</math>. Обратно, если задан левый <math>kG</math>-модуль <math>M</math>, то <math>M</math> является <math>k</math>-векторным пространством, и умножение на элемент <math>g</math> группы <math>G</math> приводит к <math>k</math>-линейному автоморфизму модуля <math>M</math> (поскольку <math>g</math> обратим в <math>kG</math>), что описывает групповой гомоморфизм <math>G\to \mathbf{GL}(M)</math>.
Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра <math>B</math> переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения <math>\land</math> в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо <math>R</math>, то можно определить операцию объединения как <math>a \lor b=a+b+ab</math>, а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.
Если <math>C</math> является категорией с начальным объектом <math>s</math>, то категория объектов «над» (<math>s{\downarrow}C</math>) изоморфна <math>C</math>. Двойственно, если <math>t</math> является терминальным объектом в <math>C</math>, категория функтора (<math>C{\downarrow}t</math>) изоморфна <math>C</math>.
Примечания
Литература
