Русская Википедия:Изотермическая система координат

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Изотермическая система координат поверхности евклидова пространства, малые координатные квадраты которой близки к квадратам.

Определение

Система координат на поверхности называется изотермической, если компоненты <math>E,F,G</math> первой квадратичной формы удовлетворяют соотношениям <math>E=G</math> и <math>F=0</math>.

Замечания

• Координатные линии изотермической системы координат образуют так называемую изотермическую сеть.

Примеры

• На поверхности вращения меридианы и параллели образуют изотермическую сеть
• Асимптотическая сеть на минимальной поверхности — изотермическая сеть

Свойства

• Изотермическая система координат задаёт конформное отображение на плоскость. То есть линейный элемент поверхности имеет вид:

  <math>ds^2=\rho(du^2+dv^2)</math>

где <math>\rho</math> конформный фактор.

• Если гармоническая функция <math>u</math> на поверхности имеет ненулевой градиент <math>\nabla_pu\ne 0</math> то в некоторой точке <math>p</math>, функция <math>u</math> является координатой некоторой изотермической системы координат <math>(u,v)</math>. Вторая функция <math>v</math> называется сопряжённой к <math>u</math>, она определена однозначно с точностью до сдвига и знака.

• Гауссова кривизна в изотермической системе координат выражается формулой

  <math> K = -\frac{1}{2} e^{-\varphi} \Delta \phi= -\frac{1}{2} e^{-\varphi} \left(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial v^2}\right),</math>

где <math>\rho = e^\varphi</math> конформный фактор.

Вариации и обобщения

• Изотермическая сеть — частный случай ромбической сети.

См. также

• Изотермическая поверхность