Русская Википедия:Изотоксальная фигура
Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.
Термин изотоксальный происходит от греческого Шаблон:Lang-el2, означающего дуга.
Изотоксальные многоугольники
Изотоксальный многоугольник всегда является равносторонним, но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. Двойственные изотоксальным многоугольникам являются изогональными многоугольниками.
В общем случае изотоксальный 2n-угольник будет иметь Dn (*nn) диэдральную симметрию. Ромб является рёберно транзитивным многоугольником с симметрией D2 (*22).
Все правильные многоугольники (правильный треугольник, квадрат, и т. д.) изотоксальны, имея удвоенный минимальный порядок симметрии — правильный n-угольник имеет Dn (*nn) диэдральную симметрию. Правильный 2n-угольник является вершинно транзитивным многоугольником и его вершины могут быть помечены поочерёдно двумя цветами, что удаляет осевую симметрию через середину рёбер.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ромб | Равносторонний треугольник | Вогнутый шестиугольник | Самопересекающийся шестиугольник | Выпуклый восьмиугольник | Правильный пятиугольник | Самопересекающаяся (правильная) пентаграмма | Самопересекающаяся декаграмма | |
| Файл:Lozenge - black simple.svg | Файл:Regular triangle.svg | Файл:Medial triambic icosahedron face.png | Файл:Great triambic icosahedron face.png | Файл:Regular polygon truncation 4 1 dual.svg | Файл:Isotoxal octagon.png | Файл:Pentagon.svg | Файл:Pentagram green.svg | Файл:Isotoxal pentagram.png |
Рёберно-транзитивные многогранники и мозаики
Правильные многогранники являются изоэдральными (гране транзитивными), изогональными (вершинно транзитивными) и изотоксальными (рёберно транзитивными). Квазиправильные многогранники являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойственные многогранники изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.
| Квазиправильный многогранник |
Квазиправильный двойственный многогранник |
Квазиправильный звёздчатый многогранник |
Квазиправильный двойственный звёздчатый многогранник |
Квазиправильная мозаика |
Квазиправильная двойственная мозаика |
|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Uniform polyhedron-43-t1.png Кубооктаэдр является изогональным и изотоксальным многогранником |
Файл:Rhombicdodecahedron.jpg Ромбододекаэдр является изоэдральным и изотоксальным многогранником |
Файл:Great icosidodecahedron.png Большой икосододекаэдр является изогональным и изотоксальным звёздчатым многогранником |
Файл:DU54 great rhombic triacontahedron.png Большой ромбический тридцатигранник |
Файл:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg Тришестиугольная мозаика является изогональной и изотоксальной мозаикой |
Файл:Star rhombic lattice.png Ромбическая мозаика является изоэдральной и изотоксальной мозаикой с симметрией p6m (*632). |
Не любой многогранник или 2-мерная мозаика, состоящие из правильных многоугольников, изотоксален. Например, усечённый икосаэдр (знакомый нам по футбольному мячу) имеет два типа рёбер — шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник и нет возможности симметрией перевести ребро шестиугольник-шестиугольник в шестиугольник-пятиугольник.
Изотоксальный многоугольник имеет те же самые диэдральные углы для всех рёбер.
Существует девять выпуклых рёберно транзитивных многогранников, образованных из правильных многогранников, 8, образованных из многогранников Кеплера — Пуансо, и ещё шесть являются квазиправильными звёздчатыми многогранниками (3 | p q) и их двойственными.
Существует 5 многоугольных рёберно транзитивных мозаик на евклидовой плоскости и бесконечно много на гиперболической плоскости, включая построения Уитхофф из правильных гиперболических мозаик {p, q} и неправильных (p q r) групп.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Refend Шаблон:Геометрические мозаики Шаблон:Rq
