Русская Википедия:Изотомическое сопряжение
В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.
Определение
Пусть дан треугольник <math>ABC</math>, у которого <math>A_0</math> — середина стороны <math>BC</math>, <math>B_0</math> — середина <math>AC</math> и <math>C_0</math> — середина стороны <math>AB</math>. Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка <math>P</math>, не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые <math>AP</math>, <math>BP</math> и <math>CP</math>. Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, <math>\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1</math>. Если теперь точки <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> симметрично отразить относительно <math>A_0</math>, <math>B_0</math> и <math>C_0</math> соответственно, получатся точки <math>A_2</math>, <math>B_2</math> и <math>C_2</math> (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку <math>AC_1=BC_2</math>, <math>AC_2=BC_1</math> и так же для остальных пар точек, получаем <math>1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\cdot\frac{AB_2}{B_2C}</math> и, согласно той же теореме Чевы, прямые <math>AA_2</math>, <math>BB_2</math> и <math>CC_2</math> пересекаются в одной точке <math>P'</math>. Эта точка называется изотомически сопряжённой точке <math>P</math> относительно треугольника <math>ABC</math>.
Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми <math>AB</math>, <math>BC</math> и <math>AC</math>. На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой <math>BC</math> соответствует вершина <math>A</math> (и наоборот, вершине <math>A</math> — всякая точка <math>BC</math>) и так далее.
Координаты
Если барицентрические координаты точки <math>P</math> суть <math>(p:q:r)</math>, то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки <math>P'</math> суть <math>\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\right)</math>.
Если трилинейные координаты точки <math>P</math> суть <math>(p:q:r)</math>, то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки <math>P'</math> суть <math>\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\right)</math>.
Другое определение
Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.
Свойства
- Изотомическое сопряжение является инволюцией, то есть его квадрат тривиален.
- Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника <math>ABC</math> и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
- Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
- Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
- Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
- Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.
См. также
Ссылки
- А. Г. Мякишев "Элементы геометрии треугольника", М., МЦНМО, 2002
- Е. А. Куланин, А. Г. Мякишев "О некоторых кониках, связанных с треугольником"
