Русская Википедия:Изотропный вектор
Изотро́пный ве́ктор (нульвектор) — ненулевой вектор псевдоевклидова векторного пространства (над полем вещественных чисел) или унитарного векторного пространства (над полем комплексных чисел), ортогональный самому себе, или, что эквивалентно, имеющий нулевую длину в смысле скалярного произведения рассматриваемого пространства. Наименование изотропный связано с физическим понятием изотропии.
В евклидовых пространствах таких векторов нет — нулевой длиной обладают лишь векторы, равные нулю. В псевдоевклидовых пространствах изотропные векторы существуют и образуют изотропный конус. Именно, вектор <math>\xi \neq 0</math> векторного пространства <math>E</math> над полем <math>F</math> вещественных или комплексных чисел с заданной в качестве скалярного произведения невырожденной билинейной формой <math>\Phi: E \times E \to F</math> с сигнатурой <math>(p, q)</math> изотропен, если <math>\Phi(\xi, \xi) = 0</math>.
Связанные понятия
- Изотропным конусом псевдоевклидова или унитарного векторного пространства называется множество, состоящее из всех векторов нулевой длины данного пространства, то есть всех изотропных векторов и нулевого вектора.
- Изотропное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, целиком содержащееся в изотропном конусе этого пространства, то есть целиком состоящее из векторов нулевой длины. Подпространство является изотропным тогда и только тогда, когда любые два его вектора ортогональны друг другу[1]. Максимальная размерность изотропного подпространства псевдоевклидова пространства сингатуры <math>(p, q)</math> не превосходит <math>\min(p, q)</math>[2].
- Вырожденное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, ограничение скалярного произведения на которое вырождено. Подпространство является вырожденным тогда и только тогда, когда оно содержит хотя бы один изотропный вектор, ортогональный всем остальным векторам этого подпространства[1]. Очевидно, любое изотропное подпространство является вырожденным, но обратное не верно.
Примеры
- Простейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в <math>\R^3_1</math> — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1). Квадрат длины вектора <math>e = (x, y, z)</math> задается формулой <math>|e|^2 = \langle e, e \rangle = x^2 + y^2 - z^2</math>. Изотропный конус — прямой круговой конус <math>x^2 + y^2 - z^2 = 0</math>. Изотропные подпространства — лежащие на нём прямые (образующие), вырожденные подпространства (отличные от изотропных) — плоскости, касающиеся изотропного конуса, то есть имеющие с ним ровно одну общую прямую. Все остальные плоскости являются либо евклидовыми (если пересекаются с изотропным конусом лишь в его вершине), либо псевдоевклидовыми сигнатуры (1,1) (если пересекаются с ним по двум различным прямым)[3].
- Важнейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в пространстве Минковского <math>\R^4_1</math> — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (1,3), используемом в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. В этом пространстве каждый вектор e имеет четыре координаты: <math>e = (ct, x, y, z)</math>, где <math>c</math> ― скорость света, и квадрат его длины задается формулой <math>|e|^2 = \langle e, e \rangle = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>. Изотропный конус пространства Минковского называется световым конусом, а изотропные векторы — световыми или светоподобными. Векторы, лежащие внутри светового конуса (<math>|e|^2 > 0</math>), называются времениподобными, а векторы, лежащие вне светового конуса (<math>|e|^2 < 0</math>), называются пространственноподобными.
Примечания
Литература
- Шаблон:Из
- Шаблон:Книга
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
- Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.
- ↑ 1,0 1,1 Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 17).
- ↑ Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 27, Лемма 2).
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)
