Русская Википедия:Икосианы
Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система, обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году[1][2]. В современной терминологии он нашёл задание Шаблон:Не переведено 5 с помощью генераторов и связей.
Открытие Гамильтона возникло из его попыток найти алгебру «троек» (3-кортежей), которые, как он верил, будут отражать оси координат. Икосианы можно отождествить с перемещениями по вершинам додекаэдра. Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к гамильтоновым циклам и гамильтоновым путям в теории графов[3]. Он также изобрёл игру «Икосиан» для иллюстрации и популяризации своего открытия.
Неформальное определение
Алгебра основывается на трёх символах, которые являются корнями из единицы, так что последовательное применение любого из них через некоторое число шагов приводит к единице. Это:
- <math>
\begin{align} \iota^2 & = 1, \\ \kappa^3 & = 1, \\ \lambda^5 & = 1. \end{align} </math>
Гамильтон также дал другую связь между символами:
- <math>\lambda = \iota\kappa.</math>
(В современных терминах, это (2,3,5) группа треугольника.)
Операция ассоциативна, но не коммутативна. Она образует группу 60-го порядка, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра, а потому знакопеременной группе пятой степени.
Хотя алгебра существует как вполне абстрактное построение, её можно наглядно представить в терминах операций с вершинами додекаэдра. Гамильтон сам использовал плоское представление додекаэдра в качестве основы для игры.
Представим себе жука, ползущего вдоль определённого ребра додекаэдра (с помеченными вершинами) в определённом направлении, скажем, от <math>B</math> к <math>C</math>. Мы можем представить это как ориентированную дугу <math>BC</math>.
- Икосиан <math>\iota</math> приравнивается к изменению направления любого ребра, так что жук будет ползти от <math>C</math> к <math>B</math> (следуя направленной дуге <math>CB</math>).
- Икосиан <math>\kappa</math> приравнивается к вращению текущего направления жука против часовой стрелки вокруг конечной вершины. В нашем примере это означает изменение текущего направления <math>BC</math> на <math>DC</math>.
- Икосиан <math>\lambda</math> приравнивается к правому повороту в конечной точке, то есть переходе от <math>BC</math> к <math>CD</math>.
Наследие
Икосианы являются одним из наиболее ранних примеров многих математических идей, включая:
- Представление и изучение групп с помощью генераторов и связей;
- Группа треугольника, позднее обобщена в группы Коксетера;
- Визуализация группы с помощью графа, приведшая к комбинаторной теории групп, а позднее к геометрической теории групп;
- Гамильтоновы циклы и пути в теории графов[3];
- dessin d'enfant[4][5] — смотрите Шаблон:Не переведено 5 для деталей.
Примечания
