Русская Википедия:Импульс

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы <math>m</math> этого тела на его скорость <math>\vec{v},</math> направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

<math>\vec{p} = m\vec{v}.</math>

В релятивистской физике импульс вычисляется как:

<math>\vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>

где <math>c</math> — скорость света; в пределе для малых <math>v</math> формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

<math> \frac{\mbox{d}\vec{p}}{\mbox{d}t} = \vec{F},</math>

здесь <math>t</math> — время, <math>\vec{F}</math> — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от <math>\vec{F} = m\vec{a},</math> <math>\vec{a}</math> — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус". В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

<math>\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,</math>

соответственно, величина <math>\vec p_i=m_i \vec{v}_i</math> называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

<math>\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz.</math>

Стоящее под интегралом произведение <math>\vec{s} = \rho\vec{v}</math> называют плотностью импульса.

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

<math>\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},</math>

где <math>m_i</math> — масса <math>i</math>-й материальной точки, <math>\vec v_i</math> — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой <math>m</math> определяется как:

<math>p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m c}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{m \vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right).</math>

На практике часто применяются соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

<math>E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4, \qquad\qquad \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}.</math>

Свойства импульса

• Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в системуШаблон:Sfn.
• Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСОШаблон:Sfn. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
• Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, <math>\mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = \vec{F}</math>).
• Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: <math>\mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = 0</math> (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю <math>\vec{F}_{i,ext}</math> плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

<math>\frac{d\vec p}{dt} = \sum_i\frac{d\vec{p}_i}{dt} = \sum_i \vec{F}_i = \sum_i \left(\vec{F}_{i, ext} + \sum_{j,j\ne j}\vec{F}_{i, j}\right) = \sum_i \vec{F}_{i, ext} + \sum_i\sum_{j,j\ne i} F_{i,j}.</math>

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые <math>\vec{F}_{a,b}</math> и <math>\vec{F}_{b,a}</math> в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям ГалилеяШаблон:Sfn. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульсаШаблон:Sfn.

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

<math> p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}.</math>

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой <math>\vec{p};</math> обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность <math>q_i</math> — длина, то <math>p_i</math> будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой <math>q_i</math> выступает угол (величина безразмерная), то <math>p_i</math> обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа <math>dp_i/dt=0.</math>

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

<math>\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}</math>, отсюда: <math>\vec {p}= m \vec {v}/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>.

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно <math>\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}-q\varphi + q\vec{v}\cdot\vec{A}.</math> Соответственно, обобщённый импульс частицы равен:

<math>\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A,</math>

где <math>\mathbf A</math> — векторный потенциал электромагнитного поля, <math>q</math> — заряд частицы; в выражении для <math>\mathcal L</math> фигурировал также скалярный потенциал <math>\varphi</math>.

Импульс электромагнитного поля

Шаблон:Main Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

<math> \mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV</math> (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид:

<math>\hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{p}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j</math>,

где <math>\nabla_j</math> — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам <math>j</math>-ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

<math>\hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{p}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots)</math>.

Для замкнутой системы (<math>U = 0</math>) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны <math>\lambda:</math>

<math>p = \frac h \lambda</math>,

где <math>h</math> — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью <math>v\ll c</math> (скорости света), модуль импульса равен <math>p=mv</math> (где <math>m</math> — масса частицы), и:

<math>\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}</math>.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

<math>\vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k</math>,

где <math>\vec k</math> — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как <math>p=mv</math>, а если проявляются волновые свойства, действует связь <math>p=h\lambda^{-1}</math>. При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа <math>\rho.</math> При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

<math>\vec s = \rho\vec v.</math>

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса.

Если в согласии с методом Рейнольдса представить <math>\rho = \overline {\rho} + \rho' ,</math> <math>\vec v = \overline {\vec v} + \vec v' ,</math>, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

<math>\ \overline{\vec s} = \overline{\rho \vec v}=\overline{\rho}~\overline{ \vec v} + \vec S,</math>

где <math>\ \vec S = \overline{\rho' \vec v'} </math> — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Импульсное представление в квантовой теории поля

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных.

См. также

• Импульс силы
• Момент импульса
• Электрический импульс

Литература

• Шаблон:Книга
• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
• Книга:Сивухин Д.В.: Механика
• Шаблон:Книга