Русская Википедия:Инвариантная масса
Инвариантная масса, неизменная масса[1] — это скалярная физическая величина, имеющая размерность массы, вычисляемая как функция энергии и импульса всех составных частей замкнутой физической системы и инвариантная относительно преобразований Лоренца.[2]
У физических систем с времениподобным четырехимпульсом инвариантная масса положительна, у физических систем с нулевым четырехимпульсом (безмассовых физических систем, например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении) инвариантная масса равна нулю.
Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс образующих её объектов.[2]
Для изолированной "массивной" системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. В системе отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, общий импульс системы равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя". В этой системе отсчета инвариантная масса системы равна общей энергии системы, деленной на квадрат скорости света {{"c"2}}. Эта общая энергия является "минимальной" энергией, которую можно наблюдать у системы, когда ее видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчета.
Система отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, не существует для группы фотонов, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, существует система координат центра масс. Таким образом, инвариантная масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, несмотря на то, что она равна нулю для каждого фотона.
Сумма масс
Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остается в центре системы отсчета импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс ее отдельных составляющих. Например, масса и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, даже если они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).
Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в неподвижном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему с точки зрения центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.
Кинетическая энергия частиц системы и потенциальная энергия силовых полей (возможно, Шаблон:Не переведено 5) вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, является наименьшей в системе координат центра импульса.
Для изолированной "массивной" системы центр масс движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. Таким образом, всегда можно разместить наблюдателя, который будет двигаться вместе с ним. В этой системе отсчета, которая является системой центра масс, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя", если это связанная система ннапример, бутылка с газом). В этой системе отсчета, которая существует всегда, инвариантная масса системы равна общей энергии системы (в системе отсчета с нулевым импульсом), деленной на Шаблон:Math.
Определение в физике элементарных частиц
В физике элементарных частиц инвариантная масса Шаблон:Math системы <math>N</math> элементарных частиц может быть рассчитана по энергиям частиц <math>E_{i}</math> и их импульсам <math>\mathbf{P}_{i}</math>, <math>i=1, ... N</math>, измеренными в произвольной системе отсчёта, с помощью Шаблон:Не переведено 5[3][4]:
- <math> m_0^2 c^4 = \left( \sum_{i} E_{i} \right) ^2 - \left\| \sum_{i} \mathbf{p}_{i} \right\| ^2 c^2 </math>
или в релятивистской системе единиц где <math>c = 1</math>,
- <math> m_0^2 = \left( \sum_{i} E_{i} \right) ^2 - \left\| \sum_{i} \mathbf{p}_{i} \right\| ^2</math>
Инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальная теория относительности). С математической точки зрения она представляет собой псевдоевклидову длину четырёхвектора Шаблон:Math, рассчитанную с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора[4], которая использует разные знаки для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом смещении или вращении Лоренца в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора, сохраняется при вращениях.
Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются во время распада, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы.[4]
В экспериментах по неупругому рассеянию инвариантная масса [4] необнаруженной частицы, уносящей с собой часть энергии и импульса, называется Шаблон:Якорь2 <math>W</math>. Она определяется (в релятивистской системе единиц)[4]:
- <math> W^2 = \left( \sum E_\text{in} - \sum E_\text{out} \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p}_\text{in} - \sum \mathbf{p}_\text{out} \right\| ^2 .</math>
Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена во время эксперимента, ее массу можно определить по пику на графике ее инвариантной массы.[3][4]
В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т.е. в случае нейтрино, о присутствии которого можно судить только по Шаблон:Не переведено 5), используется Шаблон:Не переведено 5.
Примеры
Столкновение двух частиц
При столкновении двух частиц (или распаде двух частиц) квадрат инвариантной массы (в в релятивистской системе единиц) равен[3]
- <math>\begin{align}
M^2 &= ( E_1 + E_2 ) ^2 - \left\| \textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 \right\| ^2 \\
&= m_1^2 + m_2^2 + 2 \left( E_1 E_2 - \textbf{p}_1 \cdot \textbf{p}_2 \right) .
\end{align}</math>
Безмассовые частицы
Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол <math>\theta</math> имеет удобное выражение:
- <math>\begin{align}
M^2 &= (E_1 + E_2) ^2 - \left\| \textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 \right\| ^2 \\
&= [ ( p_1 , 0 , 0 , p_1 ) + ( p_2 , 0 , p_2 \sin \theta , p_2 \cos \theta ) ] ^2 \\
&= (p_1 + p_2) ^2 - p_2 ^2 \sin^2 \theta - ( p_1 + p_2 \cos \theta ) ^2 \\
&= 2 p_1 p_2 ( 1 - \cos \theta ) .
\end{align}</math>
Эксперименты на коллайдере
В экспериментах на коллайдере частиц часто определяют угловое положение частицы в терминах азимутального угла <math> \phi </math> и псевдобыстроты <math> \eta </math>. Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс, <math> p_{T} </math>. В этом случае, если частицы безмассовые или сильно релятивистские (<math> E \gg m </math>), то инвариантная масса определяется как:
<math display="block">M^2 = 2 p_{T 1} p_{T 2} ( \cosh(\eta_1 - \eta_2) - \cos (\phi_1 - \phi_2) ) .</math>
См. также
Примечания
- ↑ Ю.В. Катышев, Д.Л. Новиков, Э.А. Полферов Англо-русский словарь по физике высоких энергий. — М., Русский язык, 1984. — c. 200
- ↑ 2,0 2,1 Элементы.ру Инвариантная масса Шаблон:Wayback
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Сарычева, Л. И. Введение в физику микромира: физика частиц и ядер. Шаблон:Wayback 6.2.2 Метод инвариантных масс Шаблон:Wayback — Изд. 4-е. — Москва : URSS : Либроком, 2012. — 220 с., ISBN 978-5-397-02675-8
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 Копылов Г.И. Всего лишь кинематика. — М., Наука, 1981. — с. 27, 62, 71, 80, 81
