Русская Википедия:Инвариант Шварца
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом <math>(Sf)(z)</math> (иногда используется обозначение <math>\{f,\;z\}</math>) аналитической функции <math>f(z)</math> называется дифференциальный оператор вида
- <math>(Sf)(z)=\frac{f'(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f(z)}{f'(z)}\right)^2.</math>
Свойства
- Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если вторая производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
- Если <math>f</math> — аналитическая функция, а <math>g</math> — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение <math>(Sf)(z)=(S (g\circ f))(z)</math>, то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,
- <math>(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.</math>
- Таким образом выражениеШаблон:Прояснить
- <math> (S(f))(z) \ dz^{\otimes 2} </math>
- инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.
- Более общим образом, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g
- <math>S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g).</math>
- Введём функцию от двух комплексных переменных
- <math>F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right )</math>.
- Рассмотрим выражение
- <math> \frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2}</math>.
- Производная Шварца выражается формулой
- <math> (Sf)(z)= \left. 6 \cdot {\partial^2 F(z,w)\over \partial z \partial w}\right\vert_{z=w}.</math>
- Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z
- <math>(Sf)(z) = -\left(\frac{df}{dz}\right)^2 (Sz)(f)</math>.
- Выражение <math>(Sz)(f)</math> имеет следующий смысл: мы рассматриваем <math>f</math> как координату, а <math>z(f)</math> как функцию. Затем вычисляем Шварциан <math>z(f) </math>. Мы предполагаем, что <math> f' \neq 0 </math> поэтому по теореме об обратной функции <math>f</math> действительно является локальной координатой, а <math> z'(f) = 1 / f'(z) </math> (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).
Уравнение для инварианта Шварца
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида <math>\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z)f(z)=0</math>. Тогда его два линейно независимых решения <math>f_1</math> и <math>f_2</math> удовлетворяют соотношению <math>\left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z)</math>.
