Русская Википедия:Инверсия (геометрия)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg

Кардиоида — инверсия параболы

Инве́рсия (от Шаблон:Lang-la «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Файл:Inversion illustration1.svg

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность <math>\Gamma</math> с центром <math>O</math> (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом <math>R</math>. Инверсия точки <math>P</math> относительно <math>\Gamma</math> есть точка <math>P'</math>, лежащая на луче <math>OP</math> такая, что

<math>|OP'|\cdot|OP|=R^2.</math>

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» <math>\infty</math> и считают её инверсным образом <math>O</math>, а <math>O</math> — инверсным образом <math>\infty</math>. В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Файл:Inversion.gif

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности <math>\Gamma</math> с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

Файл:Apollonius circle definition labels.svg

<math>d_1/d_2 = \text{const}</math>

• Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством <math>k = \tfrac{PA}{PB}</math>, меняет местами точки <math>A</math> и <math>B</math>.
• Окружность или прямая, перпендикулярная к <math>\Gamma</math>, переходит в себя.
• Для того, чтобы точки <math>z</math> и <math>z*</math> были симметричными относительно окружности <math>\Gamma</math>, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости, через них проходящая, была ортогональна <math>\Gamma</math>

Замечание

• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности <math>\Gamma</math>, если она проходит через центр последней.

Построение

Файл:Inversion in circle 2.png

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

<math>(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)</math>.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой <math>z=x+iy</math>, то это выражение можно представить в виде

<math>z\mapsto (\bar z)^{-1}</math>,

где <math>\bar z</math> — комплексно сопряжённое число для <math>z</math>. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке <math>O=(x_0,y_0)</math> и радиусом <math>r</math> задаётся соотношением

<math>(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)</math>.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса <math>r</math> с центром в начале координат задаётся соотношением

<math>(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)</math>.

Приложения

• Применением инверсии решаются
  • задача Аполлония,
  • тождество Птолемея.

• На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.

• Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)Шаблон:SfnШаблон:Sfn

• Существует доказательство свойств окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.

• При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.

• При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе.Шаблон:Sfn

• При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.Шаблон:Sfn

• При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.Шаблон:Sfn

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина <math>R</math> будет (переменным) расстоянием от центра <math>O</math> соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой <math>OP</math>.

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка <math>P</math> между асимптотами, возможен случай, когда прямая <math>OP</math> не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления <math>R</math> берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка <math>P</math> не лежит на асимптоте), а соответствующая величина <math>R^2</math> берётся со знаком минус, то есть луч <math>OP'</math> направляется в сторону, противоположную лучу <math>OP</math>.

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения <math>\mathcal K</math> как середина хорды, высекаемой полярой точки <math>P</math> относительно <math>\mathcal K</math> на <math>\mathcal K</math>. Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает <math>\mathcal K</math>, для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть <math>P'</math> — это такая точка, что <math>P</math> является серединой хорды, высекаемой полярой <math>P'</math> на <math>\mathcal K</math>), что не всегда удобно.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Инверсия кривой

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга