Русская Википедия:Инверсная группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия. Для данной группы <math>G=(G, \cdot)</math> строится как группа <math>G^{op}=(G, {*})</math> с тем же множеством элементов, но с произведением <math>{*}</math>, определённым по правилу <math>g * h := h \cdot g</math>.

Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой. Инверсная группа любой группы изоморфна ей: изоморфизмом будет, например, <math>g \mapsto g^{-1}</math>; кроме того, любой антиавтоморфизм <math>\psi: G \to G</math> (взаимно-однозначное отображение группы на себя, удовлетворяющее соотношению <math>\psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a)</math>) порождает соответствующий изоморфизм <math>\varphi: G \to G^{op}</math>:

<math>\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \varphi(b)</math>.

Если задано правое действие группы <math>G</math> на объекте некоторой категории: <math>\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)</math>, то <math>\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)</math>, определённое как <math>\rho^{op}(g) = \rho(g)</math> (или <math>g^{op}x = xg</math>), является левым действием.

При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.

Литература

• Шаблон:Книга