Русская Википедия:Индекс особой точки
Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.
Определение
Пусть векторное поле <math>\xi(x)</math> задано в окрестности точки <math>x_0 \in \R^n</math>, являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть <math>\xi(x_0) = 0</math> и при этом <math>\xi(x) \neq 0</math> при всех <math>x \neq x_0</math> из достаточно малой окрестности точки <math>x_0</math>. Индексом особой точки <math>x_0</math> (обозначается <math>\operatorname{ind}_{x_0}\xi</math>) называется степень гауссова отображения <math>(n-1)</math>-мерной сферы <math>S^{n-1}_\varepsilon</math> с центром <math>x_0 \in \R^n</math> достаточно малого радиуса <math>\varepsilon>0</math>, выбранной так, что поле <math>\xi</math> на ней не обращается в нуль, в сферу <math>S^{n-1}_1</math>. Именно, гауссово отображение <math>f_{x_0}: S^{n-1}_\varepsilon \to S^{n-1}_1</math> определено по формуле: <math>f_{x_0}(x) = \frac{\xi(x)}{|\xi(x)|} \quad \forall \ x \in S^{n-1}_\varepsilon.</math>
Свойства и примеры
Особая точка <math>x_0</math> векторного поля <math>\xi(x)</math> называется невырожденной, если в ней выполнено условие
- <math>\Delta = \operatorname{det} \left ( \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\beta} \Biggr|_{x=x_0} \right ) \neq 0.</math>
Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя <math>\Delta</math>.
Собственные значения <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей <math>\xi^\alpha = \tfrac {\partial f}{\partial x^\alpha}</math> индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана:
- <math>\operatorname{ind}_{x_0}\xi = \sgn \Bigg| \left (\frac{\partial^2 f}{\partial x^\alpha \partial x^\beta} \Biggr|_{x=x_0} \right) \Bigg| = (-1)^{i(x_0)}</math>,
где <math>i(x_0)</math> — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы <math>d^2 f \bigr|_{x=x_0}</math>.
В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен <math>1</math>, для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен <math>-1</math>.
См. также
Литература
- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
- Шаблон:Книга
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
- Шаблон:Книга
Примечания
