Русская Википедия:Индикатор (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества <math>A \subseteq X</math> — это функция, определённая на множестве <math> X</math>, которая указывает на принадлежность элемента <math> x \in X</math> подмножеству <math>A</math>.

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение

Пусть <math>A\subseteq X</math> — выбранное подмножество произвольного множества <math>X</math>. Функция <math>\mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}</math>, определённая следующим образом:

<math>\mathbf{1}_A(x) =

\left\{\begin{matrix} 1, &x \in A, \\ 0, &x \notin A, \end{matrix}\right. </math>

называется индикатором множества <math>A</math>.

Альтернативными обозначениями индикатора множества <math>A</math> являются: <math>\chi_A</math> или <math>\mathbf{I}_A</math>, а иногда даже <math>A(x)</math> а также скобка Айверсона <math>[x \in A]</math>.

(Греческая буква <math>\chi</math> происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение <math>\mathbf{1}_A</math> может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество <math>A \subseteq X</math> с его индикатором <math>\mathbf{1}_A</math> инъективно. Если <math>A</math> и <math>B</math> — два подмножества <math>X \ </math>, то

<math>\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,</math>

<math>\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,</math>

<math>\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),</math>

<math>\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A. </math>

Более обобщённо, предположим <math>A_1,\ldots, A_n</math> — это набор подмножеств <math>X</math>. Ясно, что для любого <math>x \in X</math>

<math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))</math>

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех <math>x \in X</math>, которые не принадлежат ни одному множеству <math>A_k</math> и 0 иначе. Поэтому

<math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.</math>

Разворачивая левую часть, получаем

<math> \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}, </math>

где <math>|F|</math> — мощность <math>F</math>. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если <math>X</math> — вероятностное пространство с вероятностной мерой <math>\mathbf{P}</math>, а <math>A</math> — измеримое множество, то индикатор <math>\mathbf{1}_A</math> становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности <math>A:</math>

<math>E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad </math>

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также

• Простая функция
• Функция принадлежности