Русская Википедия:Индикатриса Дюпена

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойства

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности <math>S</math> в точке <math>p</math>, и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки <math>p</math> в направлении <math>u</math> в касательной плоскости и имеющих длину, равную <math>1 / \sqrt{\kappa_u}</math>, где <math>\kappa_u</math> — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности <math>S</math> в точке <math>p</math> в направлении <math>u</math>. Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

<math>|II_p(v)|=1,</math>

где <math>v</math> — вектор касательной плоскости, a <math>II_p</math> — вторая фундаментальная форма поверхности <math>S</math>, в точке <math>p</math>.

Индикатриса Дюпена представляет собой:

• эллипс, если <math>p</math> — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • В частности, окружность, если <math>p</math> — точка округления;
• пару сопряженных гипербол, если <math>p</math> — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
• пару параллельных прямых, если <math>p</math> — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

История

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена, впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.