Русская Википедия:Индуктивная размерность
Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.
Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства <math>X</math> они обычно обозначаются <math>\mathrm{Ind}\, X</math> и <math>\mathrm{ind}\,X</math> соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.
Определение
По определению размерность пустого множества считается равной <math>-1</math>; то есть
- <math>\mathrm{ind}\,\varnothing=\mathrm{Ind}\,\varnothing=-1</math>
<math>\mathrm{ind}\,X</math> — малая индуктивная размерность топологического пространства <math>X</math>, определяется как наименьшее число <math>n</math> такое, что для любой точки <math>x\in X</math> и любой её открытой окрестности <math>U</math>, существует открытое множество <math>W</math>, что <math>\mathrm{ind}\,\partial W\le n-1</math>, то есть малая индуктивная размерность границы <math>W</math> не превосходит <math>n-1</math> и
- <math>x\in W\subset \bar W\subset U,</math>
где <math>\bar W</math> обозначает замыкание <math>W</math>.
<math>\mathrm{Ind}\,X</math> — большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число <math>n</math> такое, что для любого замкнутого множества <math>K\subset X</math> и любой его открытой окрестности <math>U</math>, существует открытое множество <math>W</math>, что <math>\mathrm{Ind}\,\partial W\le n-1</math> и
- <math>K\subset W\subset \bar W\subset U.</math>
Замечания
- Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства <math>X</math> она обывно обозначаются <math>\dim X</math>.
Свойства
- <math>\dim X = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>\operatorname{Ind} X = 0.</math>
- (Теорема Урысона) для нормального пространства <math>X </math> со счётной базой, выполняется равенство
- <math>\dim X = \operatorname{Ind} X = \operatorname{ind} X.</math>
- Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.
- Для метризуемых пространств <math>X </math> выполнено следующее (Мирослав Катетов)
- <math>\dim X = \operatorname{Ind} X \ge \operatorname{ind} X.</math>
- Если пространство <math>X </math> компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)
- <math> \operatorname{Ind} X \ge \operatorname{ind} X \ge \dim X.</math>
- Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)
- Сепарабельное метрическое пространство <math>X</math> удовлетворяет неравенству <math>\operatorname{Ind}X\le n</math> тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства <math>A</math> пространства <math>X</math>, каждое непрерывное отображение <math>f:A\to \mathbb{S}^n</math> допускает непрерывное продолжение <math>F:X\to \mathbb{S}^n</math>.
Литература
- Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
- Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
- R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), Шаблон:ISBN.
- V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin Шаблон:ISBN.
- V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254.
- A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).
Шаблон:Фракталы Шаблон:Размерность
