Русская Википедия:Индуктивный предел
Шаблон:Значения Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.
Эта конструкция позволяет построить новый объект <math>X</math> по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов <math>X_i</math> и набору отображений <math>f_{ij}:X_i\to X_j</math>, <math>i\leqslant j</math>. Для индуктивного предела обычно используется обозначение
- <math>X=\varinjlim X_i</math>.
Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.
Определение
Алгебраические объекты
В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.
Пусть <math>I</math> — направленное множество с отношением предпорядка <math>\leqslant</math> и пусть каждому элементу <math>i\in I</math> сопоставлен алгебраический объект <math>X_i</math>, а каждой паре <math>(i,\;j)</math>, <math>i,\;j\in I</math>, в которой <math>i\leqslant j</math>, сопоставлен гомоморфизм <math>f_{ij}:X_i\to X_j</math>, причём <math>f_{ii}</math> — тождественные отображения для любого <math>i\in I</math> и <math>f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij}</math> для любых <math>i\leqslant j\leqslant k</math> из <math>I</math>. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.
Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы <math>(X_i, f_{ij})</math> — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей <math>X_i</math> по отношению эквивалентности:
- <math>\varinjlim X_i = \bigsqcup_i X_i\bigg/\sim.</math>
Здесь <math>x_i\in X_i</math> и <math>x_j\in X_j</math> эквивалентны, если существует такое <math>k\in I</math>, что <math>f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)</math>. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть <math>x_i\sim\, f_{ik}(x_i)</math>.
Из этого определения легко получить канонические морфизмы <math>\phi_i: X_i\rightarrow X</math>, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на <math>X</math> можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.
Определение для произвольной категории
В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы <math>(X_i, f_{ij})</math> — это объект <math>X</math> категории, такой что выполняются следующие условия:
- существует такое семейство отображений <math>\phi_i:X_i\to X</math>, что <math>\phi_i=\phi_j\circ f_{ij}</math> для любых <math>i\leqslant j</math>;
- для любого семейства отображений <math>\psi_i:X_i\to Y</math>, в произвольное множества <math>Y</math>, для которого выполнены равенства <math>\psi_i=\psi_j\circ f_{ij}</math> для любых <math>i\leqslant j</math>, существует единственное отображение <math>u:X\to Y</math>, что <math>\psi_i=u\circ \phi_i</math>, для всех <math>i\in I</math>.
Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.
Примеры
- На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
- Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZ → Z/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p∞).
- Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (U ≤ V если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
- Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением Шаблон:Не переведено 5 соответствующему множеству-носителю.
Литература
- С. Маклейн. Категории для работающего математика, — Шаблон:М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
