Русская Википедия:Интегралы Френеля
Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как
- <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>
Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.
Разложение в ряд
Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:
- <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-\cdots,</math>
- <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}=x-\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{9}}{216}-\cdots.</math>
Некоторые авторы[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной <math>t \to \sqrt{\frac{\pi}{2}}t </math> и умножением интегралов на <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} </math>.
Спираль Корню
Шаблон:Основная статья Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.
Так как
- <math>C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1, </math>
то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.
Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.
Свойства
- <math>S(x)</math> и <math>C(x)</math> — нечётные функции <math>x</math>.
- Асимптотики интегралов Френеля при <math>x \to \infty</math> даются формулами
- <math>S(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} -\frac{\cos{(x^{2})}}{x \sqrt{2 \pi}} \left[1+O(x^{-4}) \right] - \frac{\sin{(x^{2})}}{ x^{3} \sqrt{8 \pi}} \left[1+O(x^{-4}) \right] \right),</math>
- <math>C(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} +\frac{\sin{(x^{2})}}{x \sqrt{2 \pi}} \left[1+O(x^{-4}) \right] - \frac{\cos{(x^{2})}}{ x^{3} \sqrt{8 \pi}} \left[1+O(x^{-4}) \right] \right).</math>
- Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как
- <math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
- <math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.
- Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при <math>x \rightarrow \infty</math> равен
- <math>\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>
Вычисление
Пределы функций C и S при <math>x \rightarrow \infty</math> могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции
- <math>e^{-\frac{1}{2}t^2}</math>
по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом <math>y=x</math>, <math>x \geqslant 0</math> и окружностью радиуса R с центром в начале координат.
При <math>R \rightarrow \infty</math> интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона
- <math> \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt =
\sqrt{\frac {\pi}{2}}, </math>
и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.
См. также
Примечания
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) Шаблон:Ref-en
Ссылки
- Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
- Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
- R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².) Шаблон:Ref-en
- Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en.
- ↑ Уравнения 7.3.1 — 7.3.2
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
