Русская Википедия:Интегральная показательная функция
Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом <math>\operatorname{Ei}</math>.
Определение на множестве вещественных чисел
Наиболее распространено следующее определение <math>\operatorname{Ei}</math> (см. график):
<math>\operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\mathbb R,\; (1)</math>
где <math>\gamma</math> есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]
Основное определение
Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]
<math>\operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}(-z)+\sum\limits_{n\ge1}\frac{z^n}{n!\cdot n}, \; |\arg(-z)|<\pi, \;(2)</math>
Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от <math>z</math>, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку <math>t=0</math>, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно <math>1/t</math>. Таким образом, функция <math>\operatorname{Ei}(z)</math> является многозначной, а особая точка <math>z=0</math> является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией <math>\operatorname{ln}z</math>, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном <math>z</math>) кратно <math>2\pi i</math>.
Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) <math>\operatorname{Ei}</math>, соответствующую главной ветви <math>\operatorname{ln}</math> в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для <math>\operatorname{ln}z</math> (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции <math>\operatorname{Ei}(z)</math>. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math> и далее будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Возникновение <math>\operatorname{Ei}</math> при вычислении интегралов
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию <math>\operatorname{Ei}</math> и элементарные функции.[1]
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что <math>b>0</math>)
<math> \int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= \begin{cases} -e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ -e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi). \end{cases}\;(2) </math>
Из (2) следует, что при вещественных значениях <math>y</math> и <math>b</math>
<math> \int\limits_0^{\infty}\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+y^2}= -\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3)</math>
где <math>\operatorname{Ei}_1</math> есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:
<math> \operatorname{Ei}_1 (y)=\frac12 \left[\operatorname{Ei}(y+i0)+\operatorname{Ei}(y-i0)\right] =\gamma+\operatorname{ln}y+\sum\limits_{n\ge 1}\frac{y^n}{n!\cdot n},\; y>0,\;\operatorname{Ei}_1 (y)\in\mathbb R.\;(4) </math>
Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию <math>\operatorname{Ei}_1</math> обозначают символом <math>\operatorname{Ei}</math>, что может приводить к ошибкам.
При получении результата (3) было использовано значение интеграла
<math> \int_0^\infty\frac{x\sin bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}=\frac\pi2\operatorname{exp}[-bz\operatorname{sign}\Im z],\;b>0. </math>
Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов <math>b</math> и <math>y</math>. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) <math>\operatorname{Ei}</math>] символа <math>\operatorname{Ei}_1</math>.
Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра <math>z</math>:
<math> \int_0^\infty\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}= -\frac12\left\{e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname{Ei}(bz) +\pi i\operatorname{sign}\Im z\right]\right\},\;b>0,\; \Re z\ne 0.\;(5) </math>
Формулу (3) для <math>b>0</math> и <math>y>0</math> можно получить, положив <math>z=y\pm i0</math> в (5).
Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений <math>z</math> и при условии, что для функции <math>\operatorname{Ei}</math> используется определение (1).
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа <math>\operatorname{Ei}</math> вместо <math>\operatorname{Ei}_1</math>) нельзя полностью доверять также и справочникам.Шаблон:Нет АИ
См. также
Примечания
