Русская Википедия:Интегральная формула Коши
Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.
Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.
Формулировка
Пусть <math>D</math> — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей <math>\Gamma=\partial D</math>, функция <math>f(z)</math> голоморфна в <math>\overline{D}</math>, и <math>z_0</math> — точка внутри области <math>D</math>. Тогда справедлива следующая формула Коши:
- <math>f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz.</math>
Формула справедлива также, если предполагать, что <math>f(z)</math> голоморфна внутри <math>D</math> и непрерывна на замыкании, а также если граница <math>D</math> не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.
Доказательство
Рассмотрим окружность <math>S_\rho</math> достаточно малого радиуса <math>\rho</math> с центром в точке <math>z_0</math>.
В области, ограниченной контурами <math>\Gamma</math> и <math>S_\rho</math> (то есть состоящей из точек области <math>D</math> за исключением точек внутри <math>S_\rho</math>), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от <math>\rho</math> имеем равенство
- <math>\int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz.</math>
Для расчёта интегралов по <math>S_\rho</math> применим параметризацию <math>z = z_0 + \rho e^{i\varphi},\ \varphi \in [0;\;2\pi]</math>.
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая <math>f(z) = 1</math>:
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{1}{z - z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1.</math>
Воспользуемся ею для доказательства общего случая:
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - f(z_0) =
\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z - z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz.</math>
Так как функция <math>f(z)</math> комплексно дифференцируема в точке <math>z_0</math>, то
- <math>\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = f'(z_0) + o(1).</math>
Интеграл от <math>f'(z_0)</math> равен нулю:
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0.</math>
Интеграл от члена <math>o(1)</math> может быть сделан сколь угодно малым при <math>\rho \to 0</math>. Но поскольку он от <math>\rho</math> вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int\limits_\Gamma \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz - f(z_0) =
\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz = 0.</math>
Следствия
Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:
Аналитичность голоморфных функций
В окрестности любой точки <math>z_0</math> из области, где функция <math>f(z)</math> голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:
- <math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n</math>,
причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке <math>z_0</math>, в котором функция <math>f(z)</math> голоморфна, а коэффициенты <math>c_n</math> могут быть вычислены по интегральным формулам:
- <math>c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz</math>.
Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов <math>c_n</math> функций, голоморфных в круге <math>{|z-z_0|<r}</math>:
- <math>c_n\leqslant r^{-n}M(r)</math>,
где <math>M(r)</math> — максимум модуля функции <math>f(z)</math> на окружности <math>{|z-z_0|=r}</math>, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.
Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы
- <math>c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!}</math>
получается интегральное представление производных функции <math>f(z)</math>:
- <math>f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.</math>
Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области <math>D</math>, если это семейство равномерно ограничено в <math>D</math>. В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области <math>D</math>, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в <math>D</math> к некоторой голоморфной функции равномерно.
Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях
Если функция <math>f(z)</math> голоморфна в области <math>D</math> вида <math>\{r<|z-z_0|<R\}</math>, то в ней она представима суммой ряда Лорана:
- <math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n,</math>
причём коэффициенты <math>c_n</math> могут быть вычислены по интегральным формулам:
- <math>c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz,</math>
а сам ряд Лорана сходится в <math>D</math> к функции <math>f(z)</math> равномерно на каждом компакте из <math>D</math>.
Формула для коэффициента <math>c_{-1}</math> часто применяется для вычисления интегралов от функции <math>f(z)</math> по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.
Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.
Теоремы о среднем для голоморфных функций
Если функция <math>f(z)</math> голоморфна в круге <math>\{|z-z_0|< R\}</math>, тогда для каждого <math>r\,(0<r<R)</math>
- <math>f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi,</math>
а также если <math>B_r</math> — круг радиуса <math>r</math> с центром в <math>z_0</math>, тогда
- <math>f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy.</math>
Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция <math>f(z)</math> голоморфна в области <math>D</math> и внутри <math>D</math> её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.
Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция <math>f(z)</math> голоморфна в области <math>D</math> и внутри <math>D</math> её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.
Теоремы о единственности
Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:
- лемма Шварца: если функция <math>f(z)</math> голоморфна в круге <math>{|z|<1}</math>, <math>f(0)=0</math> и для всех точек <math>z</math> из этого круга <math>|f(z)|\leqslant 1</math>, тогда всюду в этом круге <math>|f(z)|\leqslant |z|</math>;
- теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке <math>z_0</math>, совпадают в некоторой окрестности этой точки;
- теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции <math>f(z)</math>, голоморфной в области <math>D</math> имеют предельную точку внутри <math>D</math>, тогда функция <math>f(z)</math> равна нулю всюду в <math>D</math>.
Ссылки
Литература
