Русская Википедия:Интегральный оператор Фредгольма

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

<math> (A f)(x) = \int_G K(x, t) f(t) \, dt, </math>

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь <math>G</math> — область в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>K(x, t)</math> — функция, заданная на декартовом квадрате <math>G \times G</math>, называемая ядром интегрального оператораШаблон:Sfn. Для вполне непрерывности оператора <math>A</math> на ядро <math>K(x, y)</math> накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядраШаблон:Sfn, <math>L_2</math>-ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также полярные ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть <math> A (\alpha f + \beta g) = \alpha A f + \beta A g </math>.

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на <math>\bar G \times \bar G</math>[1] ядром <math>K(x, y)</math>, переводит <math>L_2(G)</math> в <math>C(\bar G)</math> (и, следовательно, <math>C(\bar G)</math> в <math>C(\bar G)</math> и <math>L_2(G)</math> в <math>L_2(G)</math>) и ограничен (непрерывен), причём

<math> \| A f \|_{C} \le M \sqrt V \| f \|_{L_2}, \quad f \in L_2(G), </math>
<math> \| A f \|_{C} \le MV \| f \|_C, \quad f \in C(\bar G), </math>
<math> \| A f \|_{L_2} \le MV \| f \|_{L_2}, \quad f \in L_2(G), </math>

где

<math> M = \max\limits_{x \in \bar G, \, y \in \bar G} |K(x, y)|, \quad V = \int_G dy. </math>Шаблон:Sfn.

Интегральный оператор с <math>L_2</math>-ядром:

<math> \int_G \int_G |K(x, y)|^2 dx \, dy \le N^2 < \infty </math>

переводит <math>L_2(G)</math> в <math>L_2(G)</math>, непрерывен и удовлетворяет оценке:

<math> \| A f \|_{L_2} \le N \| f \|_{L_2}. </math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из <math>L_p</math> в <math>L_q</math>.Шаблон:Sfn

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром <math>K(x, y)</math> является вполне непрерывным из <math>L_2(G)</math> в <math>C(\bar G)</math>, то есть переводит любое множество, ограниченное в <math>L_2(G)</math>, в множество, предкомпактное в <math>C(\bar G)</math>Шаблон:Sfn. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с <math>L_2</math>-ядром.Шаблон:Sfn

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из <math>L_p</math> в <math>L_q</math>.Шаблон:Sfn

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору <math>A</math> с <math>L_2</math>-ядром в гильбертовом пространстве <math>L_2(G)</math> имеет вид

<math> (A^* f)(x) = \int_G \overline{K(y, x)} f(y) \, dy. </math>

Если <math>K(x, y) = \overline{K(y, x)}</math>, то интегральный оператор Фредгольма <math>A</math> является самосопряжённымШаблон:SfnШаблон:Sfn

Обратный оператор

При достаточно малых значениях <math>|\lambda|</math> оператор <math>I - \lambda A</math> (где <math>I</math> — единичный оператор) имеет обратный вида <math> I + \lambda R</math>, где <math>R</math> — интегральный оператор Фредгольма с ядром <math>R(x, y, \lambda)</math> — резольвентой ядра <math>K(x, y)</math>Шаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Внешние ссылки

  1. ↑ <math>\bar G</math> — замыкание области <math>G</math>

Шаблон:Выбор языка

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Интегральный_оператор_Фредгольма&oldid=10003601