Русская Википедия:Интегральный синус

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Sine integral ru.svg

График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π.

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

<math> \operatorname{Si}\,x =\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt. </math>

Иногда также пользуются обозначением <math>\operatorname{si}\,x:</math>

<math> \operatorname{si}\,x = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}\,x -\frac{\pi}{2}. </math>

Интегральный синус может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом:

<math> \operatorname{si}\,x = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}\,(ix) - \operatorname{Ei}\,(-ix) \right). </math>

Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный синус — нечётная функция:

<math>\operatorname{Si}\,(-x) = -\,\operatorname{Si}\,x.</math>

• Интегральный синус имеет асимптоты:

<math>\lim_{x \to + \infty} \operatorname{Si}\,x = \frac{\pi}{2},</math>

<math>\lim_{x \to + \infty} \operatorname{si}\,x = 0,</math>

<math>\lim_{x \to - \infty} \operatorname{Si}\,x = - \frac{\pi}{2},</math>

<math>\lim_{x \to - \infty} \operatorname{si}\,x = -\pi.</math>

• Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках <math>x = \pm\pi,\,\pm2\pi,\,\pm3\pi,\,\cdots</math>

Разложение в ряд

<math>\operatorname{Si}\,x = x - \frac {x^3}{3 \cdot 3!} + \frac {x^5}{5 \cdot 5!} - \frac {x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)! (2n+1)} x^{2n+1}.</math>

Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

См. также

• Интегральный косинус
• Интегральный логарифм
• Интегральная показательная функция

Литература

• Шаблон:Книга