Русская Википедия:Интеграл Виноградова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интеграл Виноградова — кратный интеграл вида

<math>\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \ldots \int\limits_0^1 |S|^{2k} \,d\alpha_1 \,d\alpha_2 \ldots d\alpha_n,</math>

где

<math>S = \sum_{1 \leqslant x \leqslant P} e^{2\pi i(\alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \ldots + \alpha_n x^n)},</math>

являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрической суммы. Теорема Виноградова о величине этого интеграла — теорема о среднем — лежит в основе оценок сумм Вейля. Интеграл применяется при решении проблем аналитической теории чисел.

Значение интеграла Виноградова соответствует числу решений следующей системы уравнений:

<math>

\begin{cases}

x_1 + \ldots + x_k = y_1 + \ldots + y_k, \\
x_1^2 + \ldots + x_k^2 = y_1^2 + \ldots + y_k^2, \\
\cdots \\
x_1^n + \ldots + x_k^n = y_1^n + \ldots + y_k^n.

\end{cases} </math>

где неизвестные <math>x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k</math> могут принимать целые значения от 1 до <math>P, P \geqslant 1</math>.

Литература

• Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1978. — № 42. — С. 751—762.
• Виноградова интеграл // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия. — 1977.
• Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971.