Русская Википедия:Интеграл Дарбу
Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.
Определение
Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.
Пусть на отрезке <math>[a,b]</math> определена функция вещественного переменного <math>f</math>.
Разбиением <math>\tau</math> отрезка <math>[a,b]</math> будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки <math>a</math> и <math>b</math>. Шаблон:Sfn Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения <math>\tau</math> обозначим за <math>x_i</math>, причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):
- <math>\tau =\left\{ {{x}_{0}, \ldots {x}_{n}} \right\},\ a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b</math>.
Множество всех разбиений отрезка <math>[a;b]</math> обозначим за <math>T</math>.
Частичным отрезком разбиения <math>\Delta_i</math> назовём отрезок <math>[x_{i-1}, x_i]</math>.
- <math>\Delta_i=[x_{i-1}, x_i]</math>
Длину частичного отрезка разбиения обозначим за <math>\Delta x_i</math>.
- <math>\Delta x_i=x_i-x_{i-1}</math>
Диаметром разбиения <math>d</math> назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения <math>\Delta x_i</math>.Шаблон:Sfn
- <math>d=\max \Delta x_i</math>
Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за <math>m_i</math> и <math>M_i</math>.
- <math>{{m}_{i}}=\inf_{x \in \Delta_i} f(x)</math>,
- <math>{{M}_{i}}=\sup_{x \in \Delta_i} f(x)</math>.
Тогда, нижней суммой Дарбу <math>s(f, \tau)</math> функции <math>f</math> на разбиении <math>\tau</math> называется
- <math>s(f,\tau) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>
Верхней суммой Дарбу <math>S(f, \tau)</math> называется
- <math>S(f,\tau) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math>Шаблон:Sfn
Тогда нижним интегралом Дарбу <math>I_*</math> называется
- <math>I_*=\sup_{\tau \in T} s(f,\tau)</math>
Верхним интегралом Дарбу <math>I^*</math> называется
- <math>I^*=\inf_{\tau \in T} S(f,\tau)</math>Шаблон:Sfn
Альтернативные определения
Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.
- Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.Шаблон:Sfn
- <math>I_* = \lim_{d(\tau) \to 0} s(f,\tau)</math>
- <math>I^* = \lim_{d(\tau) \to 0} S(f,\tau)</math>
- Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.Шаблон:Sfn
- <math>I_* = \varliminf_{d(\tau) \to 0} \sigma(f,\tau,\xi)</math>
- <math>I^* = \varlimsup_{d(\tau) \to 0} \sigma(f,\tau,\xi)</math>
Свойства
Свойства сумм Дарбу
- При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.Шаблон:Sfn
- <math>\forall \tau_1, \tau_2 \in T \quad s(f,\tau_1)\le S( f,\tau_2)</math>
- Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.Шаблон:Sfn
- При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.Шаблон:Sfn
- <math>\begin{align}
s(f,\tau') \geq s(f,\tau)\\ S(f,\tau') \leq S(f,\tau) \end{align} \quad \tau'</math> — измельчение <math>\tau</math>.
- Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.
- Пусть d — диаметр <math>\tau</math>, измельчение <math>\tau'</math> — получено добавлением не более чем <math>l</math> точек к <math>\tau</math>, <math>M</math> и <math>m</math> — точные грани функции <math>f</math> на отрезке <math>[a;b]</math>. Тогда
- <math>s(f,\tau')-s(f,\tau) \leq (M-m)ld</math>
- <math>S(f,\tau)-S(f,\tau') \leq (M-m)ld</math>Шаблон:Sfn
- Пусть <math>\sigma(f, \tau, \xi)</math> — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками <math>(\tau,\xi)</math> верно следующее неравенство:
- <math>s(f,\tau) \leq \sigma(f,\tau,\xi) \leq S(f,\tau)</math>Шаблон:Sfn
- Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.Шаблон:Sfn Пусть <math>\Xi</math> — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении <math>\tau</math>. Тогда
- <math>s(f, \tau) = \inf_{\xi \in \Xi} \sigma(f, \tau, \xi)</math>,
- <math>S(f, \tau) = \sup_{\xi \in \Xi} \sigma(f, \tau, \xi)</math>.
Свойства интегралов Дарбу
- Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.Шаблон:Sfn Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен <math>+\infty</math>, для неограниченной снизу нижний интеграл равен <math>-\infty</math>.
- Для сумм и интегралов верны следующие неравенства
- <math>s(f,\tau) \leq I_* \leq I^* \leq S(f,\tau)</math>Шаблон:Sfn
- Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.Шаблон:Sfn
- <math>\exists\lim_{d(\tau) \to 0}s(f, \tau)</math> и <math>I_* = \lim_{d(\tau) \to 0} s(f,\tau)</math>
- <math>\exists\lim_{d(\tau) \to 0}S(f, \tau)</math> и <math>I^* = \lim_{d(\tau) \to 0} S(f,\tau)</math>
- Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.
- Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на <math>[a;b]</math> ограниченной на этом отрезке функции <math>f</math> равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.
- <math>f</math> — интегрируема по Риману <math>\Leftrightarrow I_*=I^*</math>Шаблон:Sfn
Вариации и обобщения
Кратный интеграл Дарбу
По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть <math>G</math> — измеримое по Жордану множество, <math>\tau</math> — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за <math>\Delta_i</math>.
- <math>\tau =\left\{ {{\Delta}_{1}, \ldots {\Delta}_{n}} \right\}</math>
За <math>\Delta x_i</math> обозначим меру Жордана <math>\Delta_i</math>.
Множество всех разбиений <math>G</math> будем обозначать <math>T</math>.
Диаметр разбиения <math>d</math> определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).
- <math>\max_{i=1}^n \sup_{x,y \in \Delta_i} |x-y|</math>
Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за <math>m_i</math> и <math>M_i</math>.
- <math>{{m}_{i}}=\inf_{x \in \Delta_i} f(x)</math>,
- <math>{{M}_{i}}=\sup_{x \in \Delta_i} f(x)</math>.
Тогда, нижней суммой Дарбу <math>s(f, \tau)</math> функции <math>f</math> на разбиении <math>\tau</math> называется
- <math>s(f,\tau) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>
Верхней суммой Дарбу <math>S(f, \tau)</math> называется
- <math>S(f,\tau) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math>Шаблон:Sfn
Тогда нижним интегралом Дарбу <math>I_*</math> называется
- <math>I_*=\sup_{\tau \in T} s(f,\tau)</math>
Верхним интегралом Дарбу <math>I^*</math> называется
- <math>I^*=\inf_{\tau \in T} S(f,\tau)</math>Шаблон:Sfn
Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.Шаблон:Sfn
Примечания
Литература
Шаблон:Интегральное исчисление
