Русская Википедия:Интеграл Джексона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

Пусть <math>f(x)</math> — функция от вещественной переменной <math>x</math>. Интеграл Джексона для <math>f</math> определяется как следующий ряд:

<math> \int f(x)\,{\rm d}_q x = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x). </math>

В случае, если <math>g(x)</math> является другой функцией и <math>D_{q}g</math> означает её <math>q</math>-производную, формально её можно записать:

<math> \int f(x)\,D_q g\,{\rm d}_q x = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x)\,D_q g(q^k x) = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x)\tfrac{g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^k x}, </math> или:

<math> \int f(x)\,{\rm d}_q g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f(q^k x)\cdot(g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)), </math>

В результате получается <math>q</math>-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и МаджидаШаблон:Sfn).

Теорема

Если предположить, что <math>0<q<1</math> и если значение <math>|f(x)x^\alpha|</math> ограничено на интервале <math>[0,A)</math> для некоторого <math>0\leqslant\alpha<1, </math> то интеграл Джексона сходится к функции <math>F(x)</math> на <math>[0,A)</math>, которая является q-первообразной функции <math>f(x)</math>. Более того, <math>F(x)</math> непрерывна на <math>x=0</math> с <math>F(0)=0</math> и является первообразной функции <math>f(x)</math> в этом классе функцийШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web