Русская Википедия:Интеграл Дюамеля
Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основана на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.
Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.
Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.
Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы <math>h(t)</math>, называемый переходной функцией, известен.
В качестве стандартного входного сигнала в этом методе используется ступенчатая функция Хевисайда <math>H(t)</math>. Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного <math>h(t)</math> на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.
Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.
Формулы
Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы <math>h(t)</math>, которая является откликом системы на ступенчатый единичный входной сигнал (рис. 2).
Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2[1].
Если входной сигнал системы описывается функцией <math>U(\tau)</math>, где <math>\tau</math> — независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где <math>U'(\tau)</math> производная входного воздействия по времени:
- <math>Y(t)= U(0) \cdot h(t) + \int_0^t U'(\tau)h(t-\tau)d\tau.</math>
В случае, если входной сигнал составной и функция <math>U(t)</math> испытывает разрывы (моменты времени <math>t_1</math> , <math>t_2</math> на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0, <math>t_1</math>]:
- <math>Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau.</math>
Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающих из принципа суперпозиции:
- <math>Y_2(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1)\right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau;</math>
- <math>Y_3(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1)+</math>
- <math>+ \int_{t_1}^{t_2} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{t} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau.</math>
Последние формулы означают, что:
- Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени.
- Разрыв функции в момент времени <math>t_p</math> на величину <math>E</math> эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени <math>E\cdot 1(t - t_p)</math> , что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал <math>E\cdot h(t - t_p)</math>.
- К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.
Пример применения интеграла Дюамеля для решения
Для линейной цепи рис. 1 найдём ток <math>I_3(t)</math> через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.
Вычисление переходной функции
Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения
- <math>Z(p) = 0,</math>
где <math>Z(p)</math> — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала, <math>p</math> — комплексная переменная.
- <math>Z(p) = R_1 + R_2 || X_C = R_1 + \frac{R_2}{1+R_2pC}= \frac{R_1+R_2+R_1R_2pC}{1+R_2pC};</math>
- <math>R_1+R_2+R_1R_2pC = 0;</math>
- <math>p = -\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C} = -A.</math>
Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:
- <math>h(t) = h_0 e^{-At}.</math>
Полагая, что в момент времени <math>t = 0</math> конденсатор разряжен, получим
- <math>h_0 = h(0) = \frac{1}{R_1}; h(t) = \frac{1}{R_1} e^{-At}.</math>
Вычисление отклика системы на сложный сигнал
| Интервалы для вычисления | |||
|---|---|---|---|
| Сигнал | Интервал | <math>U_i(t)</math> | <math>U'_i(t)</math> |
| <math>U_1(t)</math> | <math>0 ... t_1</math> | <math>\frac{2E}{t_1}t</math> | <math>\frac{2E}{t_1}</math> |
| <math>U_2(t)</math> | <math>t_1 ... t_2</math> | <math>E</math> | <math>0</math> |
| <math>U_3(t)</math> | <math>t_2 ... \mathcal{1}</math> | <math>0</math> | <math>0</math> |
- Представление сигнала
Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах, указанных в таблице.
- Решение
Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени, в формулах <math>A = \frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}.</math>
- <math>Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau =</math>
- <math>= 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-At} + \int_0^{t} \frac{2E}{t_1} \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)}d\tau =</math>
- <math>= \frac{2E}{At_1R_1} e^{-A(t-\tau)}\Bigr|_0^{t} = \frac{2E}{At_1R_1} \cdot (1 - e^{-At}).</math>
- <math>Y_2(t)= \int_{0}^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau =</math>
- <math>= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) + (E - 2E)\cdot \frac{1}{R_1}e^{-A(t-t_1)} + \int_{t_1}^{t} 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)} d\tau =</math>
- <math>= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)}.</math>
- <math>Y_3(t)= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{t} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau =</math>
- <math>= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} + (0 - E)\cdot \frac{1}{R_1}e^{-A(t-t_2)} + \int_{t_2}^{t} 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)} d\tau =</math>
- <math>= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1}-1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_2)}.</math>
Ссылки
- Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1978. — 528 с.
- Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.
- Ni Zhenhua. Mechanics of Vibrations. Xi’an Jiaotong University Press, Xi’an, 1990 (in Chinese).
- R. W. Clough, J. Penzien. Dynamics of Structures. Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.
- Anil K. Chopra. Dynamics of Structures — Theory and applications to Earthquake Engineering. Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001.
- Leonard Meirovitch. Elements of Vibration Analysis. Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986.
- Duhamel’s formula at «Dispersive Wiki».
- Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
- Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
- Переходные и импульсные характеристики. Интеграл Дюамеля.
- Интеграл Дюамеля.
Примечания
См. также
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокNewmanне указан текст
