Русская Википедия:Интеграл Коши — Лагранжа
Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений.
Варианты названия
В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа[1] и интеграл Лагранжа — КошиШаблон:Sfn используются термины интеграл Коши[2], интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия[3], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (Шаблон:Lang-en[4], Шаблон:Lang-en2[5])
Историческая справка
В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Л.Эйлером[6]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости[7] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости[8].
Формулировка
Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести
В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид
<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{\text{grad}^2\, \varphi}{2}+\frac{p}{\rho} +gz=f(t),</math>
где <math>\varphi(x,y,z,t)</math> — потенциал скорости, <math>p(x,y,z,t)</math> — давление в жидкости, <math>\rho</math> — её плотность, <math>g</math> — ускорение свободного падения, <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> — декартовы координаты (ось <math>z</math> направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь <math>f(t)</math> — некоторая функция времени, которую можно считать тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости <math>\tilde \varphi(x,y,z,t) = \varphi(x,y,z,t) - \int f(t)\,dt</math> (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).
Общий случай
В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, <math>\rho=\rho(p)</math> (такой процесс называется баротропным). В этом случае поле массовых сил (действующая на жидкость объемная сила в расчете на единицу массы) обязательно будет потенциальным: <math>\vec F=\text{grad}\, U,</math> где <math>U(x,y,z,t)</math> — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости <math>\varphi</math>), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме
<math> \frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{(\text{grad}\, \varphi)^2}{2}+\int\frac{dp}{\rho (p)} - U=f(t). </math>
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья, русский перевод: Шаблон:Статья, исторический комментарий:Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
