Русская Википедия:Интеграл Меллина — Барнса
Интеграл Меллина—Барнса (Шаблон:Lang-en2) или интеграл Барнса (Шаблон:Lang-en2) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина[3].
Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от <math>-i\infty</math> до <math>+i\infty</math>), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа <math>\Gamma(a_i+s)</math> (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа <math>\Gamma(b_i-s)</math> (которые должны оставаться справа)[4].
Гипергеометрические функции
Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:
- <math>{}_2F_1(a, b; c | z) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^s\,{\rm d}s.</math>
Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции <math>\Gamma(-s)</math> в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.
Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие Шаблон:Нп5 pFq[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой Шаблон:Нп5, представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким[6].
Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как Шаблон:Нп5[7], функция Кампе де Ферье[8], Шаблон:Нп5 (названные в честь Джузеппе Лауричеллы)[9] и другие.
Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для Шаблон:Нп5, и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты[10].
Леммы Барнса
Первая лемма Барнса гласит[1]Шаблон:Sfn
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\; {\rm d}s
=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}. </math>
Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции <math>{}_2F_1(a, b; c | z)</math> при <math>z=1</math>. Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.
Вторая лемма Барнса гласит[2]Шаблон:Sfn
- <math>\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(e+s)}\; {\rm d}s</math>
- <math>=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d+a)\Gamma(d+b)\Gamma(d+c)}{\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)}
</math>
где <math>e=a+b+c+d</math>. Эта формула является аналогом Шаблон:Нп5.
Примечания
Литература
