Русская Википедия:Интеграл Пуассона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: <math>u(r, \varphi)\in C^2(D)\cap C(\overline{D}),\ u_0(\varphi)\in C^1(\partial D)</math>, где ∂D — граница шара D, а <math>\overline{D}</math> — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

<math>u(r,\varphi)= \frac{R^2 - r^2}{\omega_n R} \int\limits_{\partial D} \frac{u_0(\psi)}{|r - \psi|^n}\,dS(\psi),\ r\in[0; R),</math>

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

<math>

u(r, \varphi)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{r}{R} \right ) ^n (a_n\cos n\varphi + \tilde{a}_n\sin n\varphi) </math>

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

<math>

u(r,\varphi)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}\right)^n\left (\cos n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\cos n\psi d\psi+\sin n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\sin(n\psi)d\psi\right )=</math><math> =\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left (\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right ) ^n(\cos n\varphi\cos n\psi+\sin n\varphi\sin n\psi)\right ) d\psi+\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi=</math><math> =\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left ( \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)\right )d\psi. </math>

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

<math>

\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\right )^n=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}{1-\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}=</math><math> =\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\left (1-\frac{r}{R}e^{-i(\varphi-\psi)}\right )}{1-2\frac{r}{R}\cos(\varphi-\psi)+\left ( \frac{r}{R}\right )^2}=\frac{R^2-r^2}{2\left ( R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)\right )}.</math>

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

<math>

u(r, \varphi)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{u_0(\psi)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)},\ r\in[0,R). </math>

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области <math>U</math> функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области <math>U</math> плоскости <math>z=x+iy</math> на область <math>V</math> плоскости <math>w=\xi+i\eta</math> уравнение Лапласа для функции <math>u(x,y)</math> переходит в уравнение <math>\triangle u(\xi,\eta) = 0</math>. С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса <math>R</math> на единичный круг, при котором произвольная точка <math>z_0=r_0e^{i\varphi_0}</math> переходит в центр. Такая функция имеет вид:

<math>

w=\rho e^{i\psi}=f(z)=\lambda\frac{z-z_0}{z-\frac{R^{2}}{\bar z_0}}=\lambda\frac{z-r_0e^{i\varphi_0}}{z-\frac{R^{2}}{r_0}e^{i\varphi_0}}, </math>

где <math>\lambda</math> выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки <math>| w |=1</math>, при этом <math>| \lambda |=\frac{R}{r_0}</math>, а <math>{arg}(\lambda)</math> произволен. Искомая функция <math>u(r,\varphi)</math> перейдёт в функцию <math>U(\rho,\psi)</math>. Граничная функция <math>u_0(\varphi)</math> перейдёт в <math>U_0(\psi)=u_0(\varphi(1,\psi))</math>. Тогда по теореме о среднем:

<math>

u(r_0,\varphi_0)=U\vert_{w = 0}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}U_0(\psi)d\psi. </math>

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить <math>U_0(\psi)</math> через <math>u_0(\varphi)</math>. Для граничных точек круга <math>| z | \leqslant R</math> и круга <math>| w | \leqslant 1</math> формула дробно-линейного преобразования даёт

<math>

e^{i\psi}=\frac{R}{r_0}\frac{Re^{i\varphi}-r_0e^{i\varphi_0}}{Re^{i\varphi}-\frac{R^{2}}{r_0}e^{i\varphi_0}}, </math>

откуда

<math>

d\psi=\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2Rr_0\cos(\varphi-\varphi_0)}d\varphi. </math>

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

<math>

u(r_0, \varphi_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2Rr_0\cos(\varphi-\varphi_0)}u_0(\varphi)d\varphi,\ r_0\in[0,R). </math>

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

<math>

u(r, \varphi)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{u_0(\psi)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)},\ r\in[0,R). </math>

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: Шаблон:Рамка

<math>\begin{array}{l}

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = 0, \quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ {}\qquad u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \\ \end{array}</math> Шаблон:Конец рамки где <math>\varphi(x)</math> — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция <math>u=u(x,t)</math> является непрерывной и ограниченной при <math>t \geq 0</math> и всех значениях аргумента <math>x</math>.

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием <math>\varphi(x)=\delta(x)</math>, где <math>\delta(x)</math> — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

<math>

\Phi(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \exp \biggl(-\frac{|x|^2}{4a^2 t} \biggr), \ \ x \in \mathbb{R}^n, \ t>0. </math>

где <math>|x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2</math> — стандартный скалярный квадрат вектора <math>x \in \mathbb{R}^n</math>.

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле:

<math>u(x,t) = \int \limits_{\mathbf{R}^n} \Phi(x-y,t)\, \varphi(y)\, dy = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy.

</math>

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности: Шаблон:Рамка

<math>\begin{array}{l}

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = f(x,t), \quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ {}\qquad u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n. \\ \end{array}</math> Шаблон:Конец рамки

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид:

<math>u(x,t) =

\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy + </math> <math> + \int \limits_0^t \int \limits_{\mathbf{R}^n} \frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-s)})^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds. </math>

Обобщения

По теореме Римана об области, связная односвязная область в <math>\Complex</math> конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно <math>\mathrm{SO}(2,1)/\mathrm{SO}(2)</math>. Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского <math>\Lambda^{n+1} = \mathrm{SO}(n+1,1)/\mathrm{SO}(n+1)</math>, а также комплексное <math>\Lambda^{n+1}_{\Complex} = \mathrm{SU}(n+1,1)/\mathrm{SU}(n+1)</math> и кватернионное <math>\Lambda^{n+1}_{\mathbb{H}} = \mathrm{Sp}(n+1,1)/\mathrm{Sp}(n+1)</math> пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство <math>\Lambda^{n+1} \times S^n</math>, где <math>S^n = \partial \Lambda^{n+1}</math> — абсолют, является однородным пространством для группы <math>\mathrm{SO}(n+1,1)/\mathrm{SO}(n+1)</math>. На нём имеются инвариантные внешние формы <math>\pi_k \in \Omega^{k,n-k}(\Lambda^{n+1} \times S^n)</math> (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них <math>k</math> векторных полей, касающихся сомножителя <math>\Lambda^{n+1}</math> и <math>n-k</math> векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если <math>\alpha \in \Omega^{k}(S^n)</math>, то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения <math>p^*_{S^n}\alpha \wedge \pi_k</math>, где <math>p_{S^n} \colon \Lambda^{n+1} \times S^n \to S^n</math> — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют <math>S^{2n+1}</math> комплексного пространства Лобачевского <math>\Lambda^{n+1}_{\Complex}</math> (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу <math>S^{2n+1}</math> как единичную сферу в пространстве <math>\Complex^{n+1}</math> можно определить в каждой точке <math>x \in S^{2n+1}</math> как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве <math>T_xS^{2n+1}</math> к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности.

Литература

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга