Русская Википедия:Интеграл Якоби
В небесной механике интеграл Якоби является единственной известной сохраняющейся величиной в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел.[1] В отличие от задачи двух тел, энергия и момент системы не сохраняются по отдельности и общее аналитическое решение получить не удается. Интеграл Якоби используется для получения численного решения в отдельных случаях.
Определение
Синодическая система
Одной из удобных систем координат является так называемая синодическая система с началом координат в барицентре, при этом линия, соединяющая массы μ1 и μ2, выбрана в качестве оси x, а расстояние между ними выбрано в качестве единицы расстояния. Поскольку система вращается вместе с телами, то они остаются неподвижными и расположенными в точках с координатами (−μ2, 0) и (+μ1, 0)1.
В системе координат (x, y) постоянная Якоби имеет вид
- <math>C_J=n^2 (x^2+y^2) + 2 \left(\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}\right) - \left(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right),</math>
где:
- <math>n=\frac{2\pi}{T}</math> — среднее движение (орбитальный период T),
- <math>\mu_1=Gm_1\,\!,\mu_2=Gm_2\,\!</math>, для двух масс m1, m2 и гравитационной постоянной G,
- <math>r_1\,\!,r_2\,\!</math> — расстояния от тестовой частицы до двух массивных тел.
Заметим, что интеграл Якоби равен минус удвоенной полной энергии в расчёте на единицу массы во вращающейся системе отсчёта: первое слагаемое относится к центробежной потенциальной энергии, второе относится к гравитационному потенциалу, третье — кинетическая энергия. В данной системе отсчёта силы, действующие на частицу, включают две гравитационные силы со стороны тел, центробежную силу и силу Кориолиса. Поскольку первые три силы можно выразить через потенциалы, а последняя перпендикулярна траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеряемая в данной системе энергия (следовательно, и интеграл Якоби), сохраняется.
Сидерическая система
В инерциальной (сидерической) системе отсчёта (ξ, η, ζ) массы вращаются вокруг барицентра. В данной системе координат постоянная Якоби имеет вид
- <math>C_J=2 \left(\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}\right) + 2n\left(\xi \dot \eta- \eta \dot \xi\right) - \left(\dot \xi ^2+\dot \eta ^2+\dot \zeta^2\right).</math>
Вывод
В синодической системе ускорения можно представить в виде производных от скалярной функции
- <math>U(x,y,z)=\frac{n^2}{2}(x^2+y^2)+\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}.</math>
Рассмотрим уравнения Лагранжа для движения тела:
- <math>\ddot x - 2n\dot y = \frac{\delta U}{\delta x},</math>
- <math>\ddot y + 2n\dot x = \frac{\delta U}{\delta y},</math>
- <math>\ddot z = \frac{\delta U}{\delta z},</math>
После умножения уравнений на <math>\dot x, \dot y </math> и <math>\dot z </math> соответственно и сложения всех трёх выражений получим равенство
- <math>\dot x \ddot x+\dot y \ddot y +\dot z \ddot z = \frac{\delta U}{\delta x}\dot x + \frac{\delta U}{\delta y}\dot y + \frac{\delta U}{\delta z}\dot z = \frac{dU}{dt}. </math>
После интегрирования получим выражение
- <math>\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2=2U-C_J, </math>
где CJ — постоянная интегрирования.
Левая часть равенства является квадратом скорости v пробной частицы в синодической системе отсчёта.
1Данная система координат является неинерциальной, что объясняет появление слагаемых, связанных с центробежной силой и силой Кориолиса.
Примечания
Литература
- Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (Шаблон:ISBN)
