Русская Википедия:Интеграл столкновений

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции распределения частиц <math>f\left(\vec{r},\vec{p},t\right)</math> вследствие столкновений между ними:

<math>I(f,f_1)= \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.</math>

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают <math>\mathrm{St}f</math> (от немецкого слова der Stoß — удар).

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

<math>I(f,f_1)=\int{\left(f^\prime f_1^\prime-f f_1\right)\cdot u\cdot\sigma(u,\theta)d\Omega d^3p_1},</math>

или

<math>I(f,f_1)=\int\omega\cdot(f^\prime f_1^\prime-ff_1)\,d^3p_1d^3p^\prime d^3p_1^\prime,</math>

где

• <math>f=f\left(\vec{r},\vec{p},t\right),~f_1=f\left(\vec{r},\vec{p}_1,t\right)</math> — функции распределения частиц с импульсами <math>\vec{p},~\vec{p}_1</math> до столкновения;
• <math>f^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}^\prime,t\right),~f_1^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}_1^\prime,t\right)</math> — функции распределения частиц с импульсами <math>\vec{p}^\prime,~\vec{p}_1^\prime</math> после столкновения;
• <math>\sigma(u,\theta)</math> — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол <math>d\Omega</math>;
• <math>\vec{u}=\vec{v}-\vec{v}_1</math> — относительная скорость сталкивающихся частиц;
• <math>\theta</math> — угол между относительной скоростью и линией центров;
• <math>\omega=\mathrm{prob}(\vec{p}\,\vec{p}_1|\vec{p}^\prime\,\vec{p}_1^\prime)</math> — плотность вероятности столкновения.

<math>\omega\,d^3p^\prime d^3p_1^\prime=u\,d\sigma,</math>

<math>d\sigma=\sigma(u,\theta)\,d\Omega</math>.

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса <math>R</math>:

<math>\sigma(u,\theta)=4R^2\cos\theta</math>.

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

<math>I(f,f_1)=q_+-q_-,</math>

где

• <math>q_+=\int\omega\cdot f^\prime f_1^\prime\,d^3p_1 d^3p^\prime d^3p_1^\prime</math> — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
• <math>q_-=\int\omega\cdot f f_1\,d^3p_1 d^3p^\prime d^3p_1^\prime</math> — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.

В случае, если для рассматриваемых молекул существенны квантовые эффекты, то интеграл столкновений принимает вид:

<math>I(f,f_1)=\int\omega\cdot\left(f^\prime f_1^\prime(1\pm f)(1\pm f_1)-ff_1(1\pm f^\prime)(1\pm f_1^\prime)\right)\,d^3p_1d^3p^\prime d^3p_1^\prime,</math>

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

Аппроксимации

Шаблон:Заготовка раздела Модель Шаблон:Iw

<math>I(f,f^\prime) = \frac{1}{\tau}(f-f^\prime)</math>,

где <math>\tau</math> — время релаксации, то есть среднее время между столкновениями.

Ссылки

• Шаблон:Из