Русская Википедия:Интегрирование по частям
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие равенства
- для неопределённого интеграла
- <math>\int u\,dv=u\,v-\int v\,du</math>
или в другой записи
- <math>\int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx</math>
- для определённого интеграла
- <math>\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du</math>
Предполагается, что нахождение интеграла <math>\int v\, du</math> проще, чем <math>\int u\, dv</math>. В противном случае применение метода не оправдано.
Получение формул
Для неопределённого интеграла
Функции <math>\textstyle\mathit{u}</math> и <math>\textstyle\mathit{v}</math> гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
- <math>d(u\,v) = v\,du+u\,dv</math>
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
- <math>\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv</math>
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
- <math>u\,v = \int v\,du+\int u\,dv</math>
После перестановок:
- <math>\int u\,dv = u\,v-\int v\,du</math>
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:
- <math>\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}</math>
Отсюда «следствие»: <math>0=1</math>, что очевидно неверно.
Для определённого интеграла
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
- <math>d(u\,v)=v\,du+u\,dv</math>
- <math>\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv</math>
- <math>\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du</math>
Данные формулы справедливы, если каждая из функций <math>u</math> и <math>v</math> непрерывно дифференцируема на области интегрирования.
Табличное интегрирование по частям
Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице.
Например, рассмотрим интеграл
- <math>\int x^3 \cos x \,dx \quad</math> <math>\quad u^{(0)} = x^3, \quad v^{(n)} = \cos x.</math>
Начнем перечислять в столбце D функцию <math>u^{(0)} = x^3</math> и ее последующие производные <math>u^{(i)}</math> до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию <math>v^{(n)} = \cos x</math> и ее последующие первообразные <math>v^{(n-i)}</math> до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D. Результат выглядит следующим образом:
# i Знак D: производные u(i) I: интегралы v(n−i) 0 + <math>x^3</math> <math>\cos x</math> 1 − <math>3x^2</math> <math>\sin x</math> 2 + <math>6x</math> <math>-\cos x</math> 3 − <math>6</math> <math>-\sin x</math> 4 + <math>0</math> <math>\cos x</math>
Произведение значений в Шаблон:Nowrap столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на Шаблон:Nowrap в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаблон:Nowrap несет в себе исходный интеграл. для полного результата в Шаблон:Nowrap Шаблон:Nowrap должен быть добавлен к предыдущим произведениям(Шаблон:Math) Шаблон:Nowrap столбца D и Шаблон:Nowrap столбца I (т.е., умножить 1-ое значение столбца D на 2-ое значение столбца I, 2-ое значение столбца D на 3-е значение столбца I, и т.д. ...) не забывая о Шаблон:Nowrap Процесс завершается, когда произведение, которое несет в себе интеграл, принимает значение 0 (Шаблон:Math в нашем примере). Конечный результат следующий: (включая разные знаки в каждом сегменте):
- <math>\underbrace{(+1)(x^3)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(3x^2)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{(+1)(6x)(-\sin x)}_{j=2} +\underbrace{(-1)(6)(\cos x)}_{j=3}+ \underbrace{\int(+1)(0)(\cos x) \,dx}_{i=4: \;\to \;C}.</math>
В итоге:
- <math>\underbrace{\int x^3 \cos x \,dx}_{\text{шаг 0}} = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C. </math>
Примеры
- <math>\int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C</math>
- <math>\int e^x\,x\,dx=\int x\,d(e^x\,)=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C</math>
- Иногда этот метод применяется несколько раз:
- <math>\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=</math>
- <math>=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C</math>
- Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
- <math>\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C</math>
- <math>\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C</math>
- В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
- <math>I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=</math>
- <math>=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2</math>
- <math>I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=</math>
- <math>=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1</math>
- Таким образом один интеграл выражается через другой:
- <math>\begin{cases}
I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\
I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
\end{cases}</math>
- Решив полученную систему, получаем:
- <math>I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C</math>
- <math>I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C</math>
Многомерный случай
Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество <math>\mathbb{R}^n</math>, а вместо производной − частная производная.
Пусть <math>\Omega</math> открытое ограниченное подмножество <math>\mathbb{R}^n</math> с кусочно-гладкой границей <math>\partial\Omega</math>. Если <math>u</math> и <math>v</math> гладкие функции на замыкании <math>\Omega</math>, то
- <math>
\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d x = \int_{\partial\Omega} u v n_i \,d\sigma - \int_\Omega u \frac{\partial v}{\partial x_i} \,d x </math> где <math>\vec n</math> − внешняя нормаль к <math>\partial\Omega</math>, а <math>n_i</math> − её i-ая координата, i от 1 до n, <math>\sigma</math> - мера на <math>\partial\Omega</math>.
См. также
- Интеграл
- Интеграл Римана
- Преобразование Лежандра
- Методы интегрирования
- Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.
Литература
Также см. Математический анализ#Библиография.
Ссылки
