Русская Википедия:Интерполирование с кратными узлами

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен <math>\ P_n(x)</math> степени <math>\ n</math>, удовлетворяющий условиям:

<math>P_n^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1</math>, где <math>n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1</math>.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

<math>P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}</math>, <math>\ m</math> — количество узлов и <math>\ n_i</math> — кратность узла <math>\ x_i</math>.

Шарль Эрмит показал, что

<math>l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}</math>, где <math>\ c_s^i</math> — коэффициенты ряда Тейлора для функции <math>\frac{(x-x_i)^{n_i}}{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_s^i(x-x_i)^s</math>.

Частные случаи

• Если все <math>\ n_i</math> равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
• Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
• Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

См. также

• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяционный тригонометрический многочлен
• Интерполяция сплайнами

Литература

• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.