Русская Википедия:Интерполяционная формула Гаусса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интерполяцио́нная фо́рмула Га́усса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования <math>x</math> узлы. Строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

Пусть необходимо интерполировать некоторую функцию <math>f</math>. Если <math>x=x_0+th</math>, где <math>x_0</math> — некоторая начальная точка, <math>h>0</math>, то формула

<math>G_{2n}(x_0+th)=f_0+f^{1}_{1/2}t+f^{2}_0{t(t-1) \over 2!}+ \ldots + f^{2n-1}_{1/2} \frac{t(t^2-1) \ldots [t^2-(n-1)^2]}{(2n-1)!} + f^{2n}_0 {t(t^2-1) \ldots [t^2-(n-1)^2](t-n) \over (2n)!},</math>

написанная по узлам <math>x_0,~x_0+h,~x_0-h,\ldots,~x_0+nh,~x_0-nh</math>, называется формулой Гаусса для интерполирования вперёд, а формула

<math>G_{2n}(x_0+th)=f_0+f^{1}_{-1/2}t+f^{2}_0{t(t+1) \over 2!}+\ldots + f^{2n-1}_{-1/2} {t(t^2-1)\ldots [t^2-(n-1)^2] \over (2n-1)!} + f^{2n}_0{t(t^2-1)\ldots [t^2-(n-1)^2](t+n) \over (2n)!},</math>

написанная по узлам <math>x_0,~x_0-h,~x_0+h,\ldots ,~x_0-nh,~x_0+nh</math>, называется формулой Гаусса для интерполирования назад.

В обеих формулах использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

<math>f_i = f(x_i), \; f^{1}_{i+1/2}=f_{i+1}-f_i, \; f^m_i=f^{m-1}_{i+1/2}-f^{m-1}_{i-1/2}</math>

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Литература

• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Бахвалов Н. С. Численные методы, М., 1973.