Русская Википедия:Интерполяционные формулы
Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции <math>f(x)</math> при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен <math>P_n(x)</math> степени <math>n</math>, значения которого в заданных точках <math>x_0, \; x_1, \ldots, x_n</math> совпадают со значениями <math>y_0, \; y_1, \ldots, y_n</math> функции <math>f</math> в этих точках. Многочлен <math>P_n(x)</math> определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Интерполяционная формула Лагранжа
Шаблон:Main Функция <math>f</math> может быть интерполирована на отрезке <math>[x_0, x_n]</math> интерполяционным многочленом <math>P_n(x)</math>, записанным в форме ЛагранжаШаблон:Sfn:
- <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)},</math>
при этом ошибка интерполирования функции <math>\ f(x)</math> многочленом <math>\ P_n(x)</math>Шаблон:Sfn:
- <math>|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x)\|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n).</math>
В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:
- <math>\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n(x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.</math>
Интерполяционная формула Ньютона
Шаблон:Main Если точки <math>x_0, \; x_1,\ldots,x_n</math> расположены на равных расстояниях <math>(x_k = x_0 + kh)</math>, многочлен <math>P_n(x)</math> можно записать такШаблон:Sfn:
- <math> P_n(x_0 + th) = y_0 + t \Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{t(t-1) \cdots (t-n+1)}{n!} \Delta^n y_0.</math>
Здесь <math>x_0 + th = x</math>, а <math>\Delta^k</math> — конечная разность порядка <math>k</math>. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения <math>f</math>, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от <math>x_0</math>. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений <math>x</math>, близких к <math>x_0</math>. При интерполировании функций для значений <math>x</math>, близких к <math>x_k</math>, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узловШаблон:Sfn:
- <math>P_n(x)=\sum_{m=0}^{n}\left( C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f(k)\right)</math>
где <math>C_x^m</math> — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой <math>k</math>-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычисленийШаблон:Sfn.
Интерполяционная формула Стирлинга
Если использовать набор узлов <math>x_k = x_0 + kh</math>, где <math>k = -n, \; -n+1, \ldots, -1,\; 0,\; 1, \ldots, n</math>, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу СтирлингаШаблон:Sfn:
- <math>P_n(x_0 + th) = y_0 + t \delta y_0 + \frac{t^2}{2} \delta^2 y_0 + \ldots + \frac{t (t^2-1) \ldots (t^2 - (n-1)^2)}{(2n-1)!} \delta^{2n-1} y_0 + \frac{t^2(t^2-1) \ldots (t^2-(n-1)^2)}{(2n)!} \delta^{2n} y_0.</math>
Здесь <math>t = \frac{x-x_0}{h}</math>, а <math>\delta^k</math> — центральная конечная разность порядка <math>k</math>.
Интерполяционная формула Бесселя
Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую видШаблон:Sfn
- <math>P_n(x_0 + th) = y_{1/2} + \left( t-\frac{1}{2} \right) \Delta y_{1/2} + \frac {t(t-1)}{2} \Delta^2 y_{1/2} + \cdots + \frac{t(t^2-1) \cdots (t^2 - (n-1)^2)(t-n)}{(2n)!} \Delta^{2n} y_{1/2} + \frac {t(t^2- 1) \cdots (t^2 - (n-1)^2)(t-n)(t-\frac{1}{2})}{(2n + 1)!} \Delta^{2n + 1} y_{1/2}.</math>
Эта формула особенно удобна для интерполирования при <math>t = \frac{1}{2}</math>, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению <math>x = x_0 + \frac{1}{2}h</math>, то есть интерполяции «на середину»Шаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]
