Русская Википедия:Интерполяционные формулы Ньютона
Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Формулы
Пусть заданы некоторые попарно различные точки <math>x_0, \, x_1, \, \ldots, \, x_n</math>, называемые также узлами интерполяции, и известны значения <math>f(x_0), \, f(x_1), \, \ldots, \, f(x_n)</math> некоторой функции <math>f</math> в этих точках.
Случай неравноотстоящих узлов
Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формулеШаблон:Sfn
- <math> P_n(x) = f(x_0) + (x-x_0) f(x_0;x_1) + (x-x_0)(x-x_1) f(x_0;x_1;x_2) + \ldots + (x-x_0)\ldots(x-x_{n-1}) f(x_0;\ldots;x_n), </math>
где <math>f(x_0;\ldots;x_n)</math> — разделённая разность порядка <math>n</math>.
Случай равноотстоящих узлов
Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии <math>h</math>, то есть <math>x_i = x_0 + ih</math>, <math>i = 0,\ldots,n</math>, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с <math>x_0</math> (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с <math>x_n</math> («интерполирование назад»).
В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает видШаблон:Sfn
- <math>P_n(x) = y_0 + q \Delta y_1 + \frac{q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_2 + \ldots + \frac{q(q-1)\ldots(q-n+1)}{n!} \Delta^n y_n,</math>
где <math>q=(x-x_0)/h, \; y_i=f(x_i)</math>, а выражения вида <math>\Delta^ky_0</math> — конечные разности.
Во втором случае формула принимает видШаблон:Sfn
- <math>P_n(x) = y_n + q \Delta y_{n-1} + \frac{q(q+1)}{2!} \Delta^2 y_{n-2} + \ldots + \frac{q(q+1)\ldots(q+n-1)}{n!} \Delta^n y_0,</math>
где <math>q=(x-x_n)/h</math>.
При <math>h=1</math> справедлива формула
- <math>P_n(x)=\sum_{m=0}^{n} C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k)</math>
где <math>C_x^m</math> — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Остаточный член
Шаблон:Seealso Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадаютШаблон:Sfn. Однако остаточный член <math>R_n(x) = f(x) - P_n(x)</math> формулы Ньютона можно записать в другой форме:
- для случая неравноотстоящих узловШаблон:Sfn:
- <math> R_n(x) = (x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n) f(x_0;\ldots;x_n). </math>
- Если функция <math>f</math> имеет производную порядка <math>n+1</math>, то <math>f(x_0;\ldots;x_n) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},</math> где <math>\xi</math> — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.
- для случая равноотстоящих узлов:
- для интерполирования вперёдШаблон:Sfn:
- <math>R_n = \frac{h^{n+1} f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} q(q-1)(q-2)\ldots(q-n).</math>
- для интерполирования назадШаблон:Sfn:
- <math>R_n = \frac{h^{n+1} f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} q(q+1)(q+2)\ldots(q+n).</math>
См. также
Примечания
Литература
