Русская Википедия:Инфракрасная расходимость
Инфракрасная расходимость (инфракрасная катастрофа) — ситуация якобы испускания бесконечно большого числа фотонов с бесконечно малыми энергиями при столкновении двух заряженных частиц или при резком изменении скорости заряженной частицы. Является следствием расходимости интеграла из-за вкладов объектов с очень малой энергией (почти равной нулю), или что то же самое, из-за физического явления на очень больших масштабах.
Инфракрасная расходимость имеется только в теориях с безмассовыми частицами (такими как фотоны). Данные расходимости представляют собой эффект, который полная теория часто подразумевает. Один из способов борьбы с ней заключается в наложении обрезания.
Описание парадокса
Сечение процесса <math>d \sigma</math> рассеяния заряженных частиц с испусканием одного дополнительного фотона выражается формулой: <math>d \sigma = d \sigma_{0} \frac{dI}{\omega}</math>. Здесь <math>d \sigma_{0}</math> — сечение процесса рассеяния заряженных частиц с испусканием определённого числа фотонов, <math>dI</math> — полная энергия излучения, <math>\omega</math> — частота излучения. При интегрировании этой формулы по частотам в некотором конечном интервале от <math>\omega_{1}</math> до <math>\omega_{2}</math> получается <math>d \sigma \sim \alpha \ln \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} d \sigma_{u}</math>, где <math>d \sigma_{u}</math> — сечение рассеяния упругого процесса. Можно приближенно считать, что <math>\omega_{2}</math> приближенно равна начальной энергии излучающей частицы. Но величина <math>\omega_{1}</math> может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. В результате сечение излучения всех возможных мягких фотонов стремится к бесконечности[1].
При другом способе вычислений среднего числа фотонов при резком изменении скорости заряженной частицы: <math>\bar{n} \sim \ln\frac {L}{\lambda}</math>, где <math>L, \lambda</math> — максимальная и минимальная частоты интегрирования. При <math>\lambda \rightarrow 0</math> получаем, что <math>\bar{n} \rightarrow \infty</math>, так что всегда излучается бесконечно много фотонов нулевой частоты[2].
Объяснение парадокса
Среднее число излученных фотонов <math>d \bar{n} = \frac{dI}{\omega}</math>, где <math>dI</math> — классическая интенсивность излучения, <math>\omega</math> — частота излучения. Интегрируя эту формулу получаем: <math>\bar{n} = \int_{\omega_{1}}^{\omega_{2}}\frac{dI}{\omega}</math>. Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо, вероятность <math>\omega(n)</math> излучения <math>\bar{n}</math> фотонов выражается через их среднее число формулой Пуассона <math>\omega(n) = \frac{\bar{n}^{n}}{n!}\exp(-\bar{n})</math>. Сечение процесса рассеяния с излучением фотонов может быть представлено в виде: <math>d \sigma = d \sigma_{u} \omega(n)</math>. Поскольку <math>\sum \omega (n)=1</math>, то <math>d \sigma_{u}</math> представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Сечение чисто упругого рассеяния в действительности равно нулю. При <math>\omega_{1} \to 0</math> среднее число <math>\bar{n} \to \infty</math> и согласно формуле Пуассона обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов[1].
Физической причиной парадокса является предположение о бесконечном радиусе действия кулоновского поля, которое приводит к неадекватности фотонной картины для очень больших длин волн. Для выполнения условия <math>\bar{n} > 1 </math> длины волн должны иметь длину больше <math>e^{\frac{1}{\alpha}}\frac{\hbar}{mc}</math>, что значительно больше радиуса наблюдаемой части Вселенной. Таким образом данный парадокс имеет чисто теоретическое значение[2]
См. также
Примечания
Литература
- ↑ 1,0 1,1 В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский Квантовая электродинамика. — М., Физматлит, 2001. — c. 482—488
- ↑ 2,0 2,1 Вальтер Е. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. — М., Высшая школа, 1964. — с. 105—109
