Русская Википедия:Иррациональная последовательность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике Шаблон:Не переведено 5 a_n называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n x_n} </math>

существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и Шаблон:Не переведено 5, которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».

Примеры

Шаблон:Не переведено 5 <math>2^{2^n}</math> образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра

Шаблон:Nums, …

(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью Шаблон:Не переведено 5, она не образует иррациональную последовательность. Если положить <math>x_n=1</math>, получим

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\cdots=1,</math>

которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы <math>n!</math> не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность <math>x_n=n+2</math> приводит к последовательности с рациональной суммой

<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)n!}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\cdots=1</math>.

Скорость роста

Любая последовательность a_n, которая растёт со скоростью, такой что

<math>\limsup_n \frac{\log\log a_n}{n} > \log 2 </math>

является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.

Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

<math>\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n}=\infty.</math>

Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

<math>\lim_{n\to\infty} a_n^{1/2^n}<\infty</math>.

Связанные свойства

По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл Шаблон:Harv определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел a_n, такие, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n x_n} </math>

существует и является трансцендентным числом.