Русская Википедия:Искривлённое произведение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения. 

Определение

Пусть <math>B=(B,g)</math> и <math>F=(F,h)</math> — два псевдоримановых многообразия и <math>f\colon B\to \R</math> гладкая положительная функция. Тогда произведение <math>B\times F</math> с метрикой <math>g\oplus (f^2\cdot h)</math> называется искривлённым произведением <math>B=(B,g)</math> и <math>F=(F,h)</math> по функции <math>f</math>. Точнее, касательное пространство <math>\mathrm{T}_{(b,x)}(B\times F)</math> можно идентифицировать с произведением касательных пространств <math>\mathrm{T}_bB\times \mathrm{T}_xF</math> и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм <math>g\oplus (f^2\cdot h)</math>, она и определяется как метрический тензор в точке<math>(b,x)</math>.

Искривлённое произведение <math>(B\times F,g\oplus (f^2\cdot h))</math> обычно обозначается <math>F\mathrel{{\times}_f} B</math>.

Функция <math>f</math> также называется функцией искривления. Пространство <math>B=(B,g)</math> называется базой, а пространство <math>F=(F,h)</math> — слоем искривлённого произведения <math>F\mathrel{{\times}_f} B</math>.

Свойства

• Каждый слой <math>b\times F\subset B\times F</math> в <math>F\mathrel{{\times}_f} B</math> изометричен <math>f(b)\cdot F=(F,f^2(b)\cdot h)</math>.
• Каждый уровень <math>B\times x\subset B\times F</math> глобально изометричен базе <math>B=(B,g)</math>.
• Расстояния между точками <math>(b_1,x_1),(b_2,x_2)\in F\mathrel{{\times}_f} B</math> полностью определяются по базе <math>B=(B,g)</math>, двум точкам <math>b_1,b_2\in B</math>, функцией <math>f\colon B\to \R</math> и расстоянием между <math>x_1</math> и <math>x_2</math> в слое <math>F</math>.

Примеры

• Искривлённое произведение <math>\R\mathrel{{\times}_\exp} \R</math> изометрично плоскости Лобачевского.
• Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению <math>\mathbb{S}^1\mathrel{{\times}_f} \mathbb{I}</math> для некоторой функции искривления и вещественного интервала <math>\mathbb{I}</math>.
• Многие решения уравнения Эйнштейна, можно представить как искривлённые произведения, например,
  • Метрика Шварцшильда,
  • Вселенная Фридмана.

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой.