Русская Википедия:Итерационная формула Герона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылокИтерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

<math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>,

где a — фиксированное положительное число, а <math>x_1</math> — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе <math>x_1</math> быстро сходится к величине <math>\sqrt{a}</math> (квадратный корень из числа), то есть

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}</math>

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения <math>a - x^2 = 0</math>.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения <math>\sqrt{25}</math> будет значение 3.

n	<math>x_n</math>	<math>x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>	Приблизительное значение <math>x_{n+1}</math>
1	3	<math>\frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67 </math>
2	5.67	<math>\frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04 </math>
3	5.04	<math>\frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math>
4	5	<math>\frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math>

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• Ancient Square Roots
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures