Русская Википедия:ККС и КАС алгебры
Шаблон:К удалению ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: [1]бозонов и фермионов, соответственно.[2].
ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры
Пусть <math>V</math> - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой <math>(\cdot,\cdot)</math> (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами <math>V</math>, в которой выполняются соотношения
- <math>fg-gf=i(f,g)</math>
- <math> f^*=f</math>
для любых <math> f, g </math> в <math>V</math> называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).
Если, наоборот, <math>V</math> снабжено невырожденной вещественной Шаблон:Не переведено 5 <math>(\cdot,\cdot)</math> унитальная *-алгебра, порожденная элементами <math>V</math>, в которой выполняются соотношения
- <math>fg+gf=(f,g)</math>
- <math> f^*=f</math>
для всех <math>f, g</math> в <math>V</math> называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).
ККС C*-алгебра
Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть <math>H</math> - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой <math>(\cdot,\cdot)</math>. В теории операторных алгебр алгебра ККС над <math>H </math> является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами <math> \{W(f):f \in H\}</math> обладающими свойствами
- <math> W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)</math>
- <math> W(f)^*=W(-f)</math>
Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент <math>W(f)</math> является унитарным и <math>W(0)=1</math>. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.[3]
Когда <math>H</math> является гильбертовым пространством, а <math>(\cdot, \cdot)</math> задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх <math>H</math>, при помощи соотношения:
- <math>W(f)\left(1,g,\frac{g^{\otimes 2}}{2!},\frac{g^{\otimes 3}}{3!},\ldots\right)= e^{-\frac{1}{2}||f||^2-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,\frac{(f+g)^{\otimes 2}}{2!},\frac{(f+g)^{\otimes 3}}{3!},\ldots\right)</math>
для любых <math>f,g \in H</math>. Операторы поля <math>B(f)</math> определяются для каждого <math>f \in H</math> как генераторы однопараметрической унитарной группы <math>(W(tf))_{t \in \mathbb{R}}</math> на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению
- <math> B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm{Im}\langle f,g\rangle</math>
Поскольку отношение <math>f \mapsto B(f)</math> является вещественнолинейным, поэтому операторы <math>B(f)</math> определяют ККС-алгебру над <math> (H, 2 \mathrm{Im} \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> в смысле раздел 1.
КАС C*-алгебра
Пусть <math>H</math> - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами <math>\{ b (f), b^* (f): f \in H \}</math> с учетом отношений
- <math>b(f)b^*(g)+b^*(g)b(f)=\langle f,g\rangle, \,</math>
- <math>b(f)b(g)+b(g)b(f)=0, \,</math>
- <math>\lambda b^*(f)=b^*(\lambda f), \,</math>
- <math>b(f)^*=b^*(f), \, </math>
для всех <math>f,g \in H</math>, <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>. Когда <math>H</math> отделима, КАС-алгебра представляет собой Шаблон:Не переведено 5 и, в частном случае бесконечномерного <math>H</math>, ее часто записывают как <math>{M_{2^\infty}(\mathbb {C})}</math>.[4]
Пусть <math>F_a(H)</math> будет антисимметричным пространством Фока над <math>H</math> и пусть <math>P_a</math> будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:
- <math>P_a: \bigoplus_{n=0}^\infty H^{\otimes n} \to F_a(H). \, </math>
КАС-алгебра точно представляется в <math>F_a(H)</math>, при помощи соотношения
- <math> b^*(f)P_a(g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n)=P_a(f\otimes g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n) \, </math>
для всех <math> f, g_1, \ldots, g_n \in H</math> и <math>n \in \mathbb{N}</math>. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля <math>B(f):=b^*(f)+b(f)</math> удовлетворяют соотношению
- <math> B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm{Re}\langle f,g\rangle, \, </math>
дающему связь с глава 1.
См. также
- Статистика Бозе — Эйнштейна
- Статистика Ферми — Дирака
- Шаблон:Не переведено 5
- Группа Гейзенберга
- Преобразование Боголюбова
- (−1)F
Примечания
- ↑ Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М., Мир, 1968. — c. 51-52
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite book
